2 Fragen zu Weierstraß

Der M-Test, auch als Weierstraßscher M-Test bekannt, ist ein Kriterium in der Analysis, das verwendet wird, um die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe von Funktionen zu überprüfen. Er wurde von dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß entwickelt. Der M-Test besagt Folgendes: Gegeben sei eine Reihe von Funktionen \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\), die auf einer Menge \(D\) definiert sind. Wenn es eine Folge von positiven Zahlen \(M_n\) gibt, so dass für alle \(x \in D\) und für alle \(n\) gilt: \[|f_n(x)| \leq M_n\] und die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\) konvergiert, dann konvergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) gleichmäßig auf \(D\). Das bedeutet, dass die Funktionenreihe \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) gleichmäßig konvergiert, wenn die einzelnen Funktionen \(f_n(x)\) durch eine konvergente Reihe von positiven Zahlen \(M_n\) nach oben beschränkt sind. Der M-Test ist ein nützliches Werkzeug in der Analysis, insbesondere bei der Untersuchung der Konvergenz von Potenzreihen und Fourier-Reihen.

Der M-Test von Weierstraß ist ein nützliches Werkzeug, um die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe von Funktionen zu zeigen, was wiederum die Stetigkeit der Grenzfunktion sicherstellt. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung wie du den M-Test anwenden kannst: 1. **Gegebenheit der Funktion**: Angenommen, du hast eine Reihe von Funktionen \( f_n(x) \), die auf einem Intervall \( I \) definiert sind, und du möchtest die Konvergenz der Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) untersuchen. 2. **Majorante finden**: Finde eine Folge von positiven Konstanten \( M_n \), sodass für alle \( x \in I \) gilt: \[ |f_n(x)| \leq M_n \] 3. **Konvergenz der Majorante**: Überprüfe, ob die Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} M_n \) konvergiert. Das bedeutet, dass die Summe der \( M_n \) endlich ist: \[ \sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty \] 4. **Anwendung des M-Tests**: Wenn die obige Bedingung erfüllt ist, dann konvergiert die Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) gleichmäßig auf \( I \). 5. **Schlussfolgerung zur Stetigkeit**: Da die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe stetiger Funktionen (vorausgesetzt jede \( f_n(x) \) ist stetig) die Stetigkeit der Grenzfunktion garantiert, ist die Grenzfunktion \( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) ebenfalls stetig auf \( I \). Zusammengefasst: Der M-Test zeigt, dass wenn die Reihe der Majoranten \( \sum_{n=1}^{\infty} M_n \) konvergiert, dann konvergiert die ursprüngliche Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \) gleichmäßig, was die Stetigkeit der Grenzfunktion sicherstellt.