Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst.

1. **Flächeninhalt nach der Streckung**:
Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch:
\[
A' = k^2 \cdot A
\]
Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \):
\[
A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2
\]

2. **Umfang nach der Streckung**:
Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch:
\[
U' = k \cdot U
\]
Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \):
\[
U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm}
\]

3. **Längen der Seiten des Rechtecks**:
Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks:
\[
U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41
\]
\[
A = l \cdot b = 400
\]

Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken:
\[
b = 41 - l
\]
Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein:
\[
l \cdot (41 - l) = 400
\]
Dies ergibt die Gleichung:
\[
41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0
\]

Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel:
\[
l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2}
\]
Dies ergibt die Lösungen:
\[
l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16
\]

Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt).

Zusammenfassend:
- Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \)
- Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \)
- Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)