Wie löse ich die Differentialgleichung y''' + 2y'' + y' = 0?

Um die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) zu lösen, kannst du die charakteristische Gleichung verwenden. Hier sind die Schritte:

1. **Aufstellen der charakteristischen Gleichung:**
Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) lautet:
\[
r^3 + 2r^2 + r = 0
\]

2. **Faktorisieren der charakteristischen Gleichung:**
\[
r(r^2 + 2r + 1) = 0
\]
Weiter faktorisieren:
\[
r(r + 1)^2 = 0
\]

3. **Lösen der charakteristischen Gleichung:**
Die Lösungen der Gleichung sind:
\[
r = 0, \quad r = -1 \quad (\text{doppelte Wurzel})
\]

4. **Allgemeine Lösung der Differentialgleichung:**
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung setzt sich aus den Lösungen der charakteristischen Gleichung zusammen:
\[
y(t) = C_1 e^{0t} + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t}
\]
Da \( e^{0t} = 1 \), vereinfacht sich die Lösung zu:
\[
y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t}
\]

Hierbei sind \( C_1 \), \( C_2 \) und \( C_3 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können, falls diese gegeben sind.