Warum ist eine Gleichung dritten Grades für den Unmöglichkeitsbeweis des Winkeldrittelns zulässig, aber das reale Winkeldritteln mit y = x^3 nicht möglich?

Question

Warum ist eine Gleichung dritten Grades für den Unmöglichkeitsbeweis des Winkeldrittelns zulässig, aber das reale Winkeldritteln mit y = x^3 nicht möglich?

Antwort

Verwandte Fragen

Kann man Winkel mit endlichen Schritten exakt dritteln?

Ist das exakte Winkeldritteln mit einem unendlichen Grenzprozess möglich?

Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

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Die Frage bezieht sich auf das klassische Problem der Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal und die Rolle von Gleichungen dritten Grades (Kubikgleichungen) dabei. **Hintergrund:** Das Winkeldrittelungsproblem fragt, ob es möglich ist, einen beliebigen Winkel nur mit Zirkel und Lineal exakt zu dritteln. Die alten Griechen versuchten das, aber es gelang ihnen nicht für alle Winkel. **Unmöglichkeitsbeweis:** Der Unmöglichkeitsbeweis (z.B. von Pierre Wantzel, 1837) zeigt, dass das allgemeine Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist. Der Grund: Die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal können nur solche Zahlen (Längen) erzeugen, die sich durch eine endliche Folge von Quadratwurzeln (also durch Lösen von Gleichungen 2. Grades) aus den gegebenen Zahlen gewinnen lassen. Das entspricht mathematisch sogenannten "Konstruktionen mit quadratischen Erweiterungen". Beim Versuch, einen Winkel α zu dritteln, landet man auf der Gleichung: \[ \cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta) \] Setzt man \(\theta = \alpha/3\), ergibt sich eine kubische Gleichung für \(\cos(\alpha/3)\). Für viele Winkel ist diese Gleichung nicht durch wiederholtes Ziehen von Quadratwurzeln lösbar, sondern erfordert das Lösen einer Gleichung 3. Grades, was mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht möglich ist. **Warum ist die Gleichung 3. Grades im Beweis zugelassen?** Im Unmöglichkeitsbeweis wird gezeigt, dass das Lösen einer Gleichung 3. Grades (wie \(y = x^3\)) im Allgemeinen nicht mit Zirkel und Lineal möglich ist. Die Gleichung ist also **gerade deshalb** im Beweis zugelassen, weil sie zeigt, dass die Lösung außerhalb der Möglichkeiten von Zirkel und Lineal liegt. **Warum kann man mit y = x³ nicht real dritteln?** Die Funktion \(y = x^3\) beschreibt eine kubische Beziehung. Um einen Winkel zu dritteln, müsste man eine kubische Gleichung lösen können. Mit Zirkel und Lineal kann man aber nur lineare und quadratische Gleichungen (also bis zum Grad 2) konstruieren. Das Lösen von \(y = x^3\) (also das Ziehen einer Kubikwurzel) ist mit diesen Werkzeugen nicht möglich. **Zusammengefasst:** - Im Unmöglichkeitsbeweis wird die kubische Gleichung verwendet, um zu zeigen, dass das Winkeldritteln im Allgemeinen nicht mit Zirkel und Lineal möglich ist. - In der Praxis kann man mit Zirkel und Lineal keine kubischen Gleichungen lösen, also auch nicht \(y = x^3\), und daher auch nicht jeden Winkel dritteln. **Weiterführende Links:** - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Pierre Wantzel – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_Laurent_Wantzel)

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Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen **nicht** mit endlich vielen Schritten möglich. Das ist ein klassisches Problem der antiken Geometrie, das 1837 von Pierre Wantzel bewi... [mehr]

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Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen **nicht** mit endlich vielen Schritten möglich. Das ist ein klassisches Problem der antiken Geometrie, das 1837 von Pierre Wantzel bewiesen wurde. Nur für bestimmte spezielle Winkel (z. B. 90°) ist das Dritteln mit Zirkel und Lineal möglich, aber nicht für beliebige Winkel. Falls in meinen vorherigen Antworten ein Widerspruch entstanden ist, tut mir das leid. Die korrekte Aussage ist: **Das exakte Dritteln eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen nicht möglich.** Weitere Informationen dazu findest du z. B. bei [Wikipedia – Winkeldrittelung](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung).

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Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist in endlich vielen Schritten tatsächlich unmöglich, wie durch die Galoistheorie bewiesen wurde. Die Frage, ob ein exakter unendlicher Grenzprozess... [mehr]

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Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist in endlich vielen Schritten tatsächlich unmöglich, wie durch die Galoistheorie bewiesen wurde. Die Frage, ob ein exakter unendlicher Grenzprozess möglich ist, ist mathematisch interessant und hängt davon ab, was genau unter einem „unendlichen Grenzprozess“ verstanden wird. **Mathematische Einordnung:** - Mit einem Grenzprozess (z.B. einer Folge von Konstruktionen, die sich immer weiter dem Drittel des Winkels annähern) kann man sich dem exakten Drittel beliebig nahe annähern, aber nie in endlich vielen Schritten exakt erreichen. - In der Mathematik ist es durchaus üblich, exakte Werte als Grenzwerte unendlicher Prozesse zu definieren (z.B. bei der Definition von π oder e). - Wenn du also unendlich viele Konstruktionsschritte zulässt, kannst du den Drittelwinkel als Grenzwert einer Folge von Winkeln definieren, die durch eine jeweils verbesserte Konstruktion entstehen. **Fazit:** - Ein exakter unendlicher Grenzprozess ist **theoretisch möglich**: Der Drittelwinkel existiert als Grenzwert einer unendlichen Folge von Konstruktionen. - Praktisch ist eine exakte Konstruktion mit Zirkel und Lineal aber nicht möglich, weil du nie in endlich vielen Schritten ankommst. - In der klassischen Geometrie (Euklidische Konstruktion) werden nur endliche Schritte zugelassen, daher wird der Grenzprozess nicht gelehrt. **Weiterführende Information:** Das Problem ist eng verwandt mit der Frage, welche Zahlen mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Drittelwinkel sind im Allgemeinen nicht konstruierbar, weil die dazugehörigen Gleichungen (z.B. cos(3x) = cos(α)) auf kubische Gleichungen führen, die nicht immer mit Wurzelausdrücken lösbar sind. Mehr dazu z.B. bei [Wikipedia: Winkeldrittelung](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung).

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)