Leite ich mit der Kettenregel ab?

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Leite ich mit der Kettenregel ab?

Antwort

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Wie lautet die Ableitung von f(x)=e^(a*x)?

Wie lautet die Ableitung von f(x) = Wurzel(2x) unter Verwendung der Kettenregel (innere und äußere Ableitung)?

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Welche Eigenschaften kann eine Sinusfunktion besitzen?

Wie sieht eine Differentialgleichung aus und wie löst man sie?

Accepted Answer

Ja, die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen. Wenn du eine Funktion \( f(g(x)) \) hast, dann lautet die Kettenregel: \[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] Das bedeutet, du musst zuerst die äußere Funktion \( f \) ableiten und dann die innere Funktion \( g \) ableiten und die beiden Ableitungen multiplizieren.

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Kategorie: Mathematik Tags: Ableitung Exponentialfunktion Mathematik

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \)... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \) **1. Ableitung der äußeren Funktion:** \( g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **2. Ableitung der inneren Funktion:** \( h'(x) = 2 \) **Kettenregel:** \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) **Einsetzen:** \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \) **Vereinfachen:** \( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \) **Antwort:** Die Ableitung ist \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] **Innere Ableitung:** \( h'(x) = 2 \) **Äußere Ableitung:** \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **Gesamte Ableitung:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)

Accepted Answer

45 auf die nächste 10 gerundet ergibt 50.

Accepted Answer

45 auf die nächste 10 gerundet ergibt 50.

Kategorie: Mathematik Tags: Runden Zehnerstelle Mathematik

Accepted Answer

Die Gleichung „0 durch 0 = 0 durch 1“ ist mathematisch nicht korrekt. - **0 durch 0** (also \( \frac{0}{0})) ist **nicht definiert**. Das liegt daran, dass jede Zahl mal 0 wieder 0 ergibt... [mehr]

Accepted Answer

Die Gleichung „0 durch 0 = 0 durch 1“ ist mathematisch nicht korrekt. - **0 durch 0** (also \( \frac{0}{0})) ist **nicht definiert**. Das liegt daran, dass jede Zahl mal 0 wieder 0 ergibt, also gibt es unendlich viele mögliche Ergebnisse – deshalb ist der Ausdruck undefiniert. - **0 durch 1** (also \( \frac{0}{1} \)) ist **definiert** und ergibt 0, weil 0 geteilt durch jede von 0 verschiedene Zahl immer 0 ist. Zusammengefasst: \( \frac{0}{0} \) ist nicht definiert, \( \frac{0}{1} = 0 \). Deshalb ist die Aussage „0 durch 0 = 0 durch 1“ **falsch**.

Accepted Answer

Das Zeichen „×“ steht meist für das mathematische Symbol „Mal“ oder „Multiplikation“. Es wird verwendet, um auszudrücken, dass zwei Zahlen miteinand... [mehr]

Accepted Answer

Das Zeichen „×“ steht meist für das mathematische Symbol „Mal“ oder „Multiplikation“. Es wird verwendet, um auszudrücken, dass zwei Zahlen miteinander multipliziert werden sollen, zum Beispiel: 3 × 4 = 12. In anderen Kontexten kann es auch als Symbol für „Kreuz“ oder „mal“ (im Sinne von „Dimension“, z. B. 2×2 Meter) verwendet werden.

Accepted Answer

Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Li... [mehr]

Accepted Answer

Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Linien, Strecken, Ebenen, Kreise und Flächen. Sie dienen als Bausteine für komplexere geometrische Konstruktionen und werden häufig in Mathematik, Technik, Architektur und CAD-Systemen verwendet.

Accepted Answer

Um den Prozentsatz zu berechnen, teilst du 6.861 durch 81.740 und multiplizierst das Ergebnis mit 100: \( \frac{6.861}{81.740} \times 100 = 8,39 \% \) 6.861 sind also etwa **8,39 %** von 81.740.

Accepted Answer

Um den Prozentsatz zu berechnen, teilst du 6.861 durch 81.740 und multiplizierst das Ergebnis mit 100: \( \frac{6.861}{81.740} \times 100 = 8,39 \% \) 6.861 sind also etwa **8,39 %** von 81.740.

Kategorie: Mathematik Tags: Prozent Berechnung Mathematik

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Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \] mit \( u(x) = (x-3)(x+2) \) \( v(x) = (x+1)(x+5) \) Zuerst die Ableitungen berechnen: **1. \( u(x) \) und \( u'(x) \):** \( u(x) = (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \) \( u'(x) = 2x - 1 \) **2. \( v(x) \) und \( v'(x) \):** \( v(x) = (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5 \) \( v'(x) = 2x + 6 \) **Jetzt die Quotientenregel anwenden:** \[ f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+6x+5) - (x^2-x-6)(2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} \] **Optional: Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:** 1. \((2x-1)(x^2+6x+5) = 2x^3 + 12x^2 + 10x - x^2 - 6x - 5 = 2x^3 + 11x^2 + 4x - 5\) 2. \((x^2-x-6)(2x+6) = (x^2-x-6)2x + (x^2-x-6)6 = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 6x^2 - 6x - 36 = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36\) Jetzt den Zähler zusammenfassen: \[ [2x^3 + 11x^2 + 4x - 5] - [2x^3 + 4x^2 - 18x - 36] = (2x^3 - 2x^3) + (11x^2 - 4x^2) + (4x + 18x) + (-5 + 36) \] \[ = 0x^3 + 7x^2 + 22x + 31 \] **Endergebnis:** \[ \boxed{ f'(x) = \frac{7x^2 + 22x + 31}{(x^2 + 6x + 5)^2} } \]

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Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mitte... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mittelwert an (Betrag von \(a\)). 2. **Periode**: Die Länge eines vollständigen Zyklus, berechnet als \( \frac{2\pi}{|b|} \). 3. **Frequenz**: Anzahl der Schwingungen pro Einheit, berechnet als \( \frac{|b|}{2\pi} \). 4. **Phasenverschiebung** (\(c\)): Verschiebung entlang der x-Achse, berechnet als \( -\frac{c}{b} \). 5. **Vertikale Verschiebung** (\(d\)): Verschiebung entlang der y-Achse. 6. **Nullstellen**: Die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. 7. **Maxima und Minima**: Die höchsten und tiefsten Punkte der Funktion. 8. **Symmetrie**: Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (bei Standardform). 9. **Definitionsbereich**: Meist ganz \(\mathbb{R}\). 10. **Wertebereich**: Von \(d-a\) bis \(d+a\). 11. **Ableitung**: Die Ableitung einer Sinusfunktion ist eine Kosinusfunktion. 12. **Stetigkeit und Differenzierbarkeit**: Die Sinusfunktion ist überall stetig und differenzierbar. 13. **Monotonie**: Abschnitte, in denen die Funktion steigt oder fällt. Diese Eigenschaften beschreiben das Verhalten und die Form einer Sinusfunktion umfassend.

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Popula... [mehr]

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).