Ist F: Abb(M) → Abb(M), g ↦ f ∘ g eine gültige Abbildung?

Um zu überprüfen, ob \( F: \text{Abb}(M) \to \text{Abb}(M) \) definiert durch \( F(g) = f \circ g \) eine gültige Abbildung ist, müssen wir einige Punkte betrachten:

1. **Definition von \( \text{Abb}(M) \)**: \( \text{Abb}(M) \) bezeichnet die Menge aller Abbildungen von einer Menge \( M \) in sich selbst. Das bedeutet, dass jede Abbildung \( g \in \text{Abb}(M) \) eine Funktion ist, die Elemente aus \( M \) auf andere Elemente in \( M \) abbildet.

2. **Komposition von Abbildungen**: Die Komposition \( f \circ g \) ist nur dann definiert, wenn die Zielmenge von \( g \) mit der Definitionsmenge von \( f \) übereinstimmt. Da \( g \) und \( f \) beide Abbildungen von \( M \) nach \( M \) sind, ist die Komposition \( f \circ g \) ebenfalls eine Abbildung von \( M \) nach \( M \).

3. **Wertebereich von \( F \)**: Für jede Abbildung \( g \in \text{Abb}(M) \) ergibt die Komposition \( f \circ g \) eine neue Abbildung, die ebenfalls in \( \text{Abb}(M) \) liegt.

Zusammenfassend ist \( F \) eine gültige Abbildung, da sie jeder Abbildung \( g \in \text{Abb}(M) \) eine neue Abbildung \( f \circ g \) zuordnet, die ebenfalls in \( \text{Abb}(M) \) liegt.