Um das Integral \(\int (x+2)^2 (x-10)^2 \, dx\) zu berechnen, können wir zunächst die beiden Terme ausmultiplizieren und dann das resultierende Polynom integrieren. 1. **Ausmultiplizieren**: \[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \] \[ (x-10)^2 = x^2 - 20x + 100 \] Jetzt multiplizieren wir die beiden Ergebnisse: \[ (x^2 + 4x + 4)(x^2 - 20x + 100) \] Wir multiplizieren jeden Term des ersten Faktors mit jedem Term des zweiten Faktors: \[ = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot (-20x) + x^2 \cdot 100 + 4x \cdot x^2 + 4x \cdot (-20x) + 4x \cdot 100 + 4 \cdot x^2 + 4 \cdot (-20x) + 4 \cdot 100 \] Das ergibt: \[ = x^4 - 20x^3 + 100x^2 + 4x^3 - 80x^2 + 400x + 4x^2 - 80x + 400 \] Jetzt fassen wir die ähnlichen Terme zusammen: \[ = x^4 - 16x^3 + 24x^2 + 320x + 400 \] 2. **Integrieren**: Jetzt integrieren wir das resultierende Polynom: \[ \int (x^4 - 16x^3 + 24x^2 + 320x + 400) \, dx \] Das ergibt: \[ = \frac{x^5}{5} - 4x^4 + 8x^3 + 160x^2 + 400x + C \] wobei \(C\) die Integrationskonstante ist. Das Ergebnis des Integrals ist also: \[ \int (x+2)^2 (x-10)^2 \, dx = \frac{x^5}{5} - 4x^4 + 8x^3 + 160x^2 + 400x + C \]