Was ist die hinreichende Besinnung bei -0.5x^4 + 3x^2 - 4?

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion ist gegeben durch die zweite Ableitung. Um die hinreichende Bedingung für die Funktion \( f(x) = -0.5x^4 + 3x^2 - 4 \) zu bestimmen, folge diesen Schritten:

1. **Erste Ableitung**: Berechne die erste Ableitung \( f'(x) \):
\[
f'(x) = -2x^3 + 6x
\]

2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden:
\[
-2x^3 + 6x = 0
\]
\[
-2x(x^2 - 3) = 0
\]
Die Lösungen sind \( x = 0 \) und \( x = \pm\sqrt{3} \).

3. **Zweite Ableitung**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \):
\[
f''(x) = -6x^2 + 6
\]

4. **Bewertung der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**:
- Für \( x = 0 \):
\[
f''(0) = -6(0)^2 + 6 = 6 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Minimum})
\]
- Für \( x = \sqrt{3} \):
\[
f''(\sqrt{3}) = -6(\sqrt{3})^2 + 6 = -6(3 + 6 = -12 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Maximum})
\]
- Für \( x = -\sqrt{3} \):
\[
f''(-\sqrt{3}) = -6(-\sqrt{3})^2 + 6 = -6(3) +6 = -12 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Maximum})
\]

Zusammenfassend zeigt die Analyse, dass \( x = 0 \) ein Minimum und \( x = \pm\sqrt{3} \) Maxima sind. Die hinreichende Bedingung für ein Minimum ist, dass die zweite Ableitung positiv ist, und für ein Maximum, dass sie negativ ist.