Was ist die hinreichende Besinnung bei -0.5x^4 + 3x^2 - 4?

Question

Was ist die hinreichende Besinnung bei -0.5x^4 + 3x^2 - 4?

Antwort

Verwandte Fragen

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

(A^3 - b^3)(a^3 + b^3)?

Accepted Answer

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion ist gegeben durch die zweite Ableitung. Um die hinreichende Bedingung für die Funktion \( f(x) = -0.5x^4 + 3x^2 - 4 \) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Erste Ableitung**: Berechne die erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = -2x^3 + 6x \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ -2x^3 + 6x = 0 \] \[ -2x(x^2 - 3) = 0 \] Die Lösungen sind \( x = 0 \) und \( x = \pm\sqrt{3} \). 3. **Zweite Ableitung**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = -6x^2 + 6 \] 4. **Bewertung der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**: - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = -6(0)^2 + 6 = 6 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Minimum}) \] - Für \( x = \sqrt{3} \): \[ f''(\sqrt{3}) = -6(\sqrt{3})^2 + 6 = -6(3 + 6 = -12 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Maximum}) \] - Für \( x = -\sqrt{3} \): \[ f''(-\sqrt{3}) = -6(-\sqrt{3})^2 + 6 = -6(3) +6 = -12 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Maximum}) \] Zusammenfassend zeigt die Analyse, dass \( x = 0 \) ein Minimum und \( x = \pm\sqrt{3} \) Maxima sind. Die hinreichende Bedingung für ein Minimum ist, dass die zweite Ableitung positiv ist, und für ein Maximum, dass sie negativ ist.

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

Accepted Answer

Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]