Was ist die hinreichende Besinnung bei -0.5x^4 + 3x^2 - 4?

Question

Accepted Answer

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion ist gegeben durch die zweite Ableitung. Um die hinreichende Bedingung für die Funktion $ f(x) = -0.5x^4 + 3x^2 - 4 $ zu bestimmen, folge diesen Schritten:

1. **Erste Ableitung**: Berechne die erste Ableitung $ f'(x) $:
   $$
   f'(x) = -2x^3 + 6x
   $$

2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden:
   $$
   -2x^3 + 6x = 0
   $$
   $$
   -2x(x^2 - 3) = 0
   $$
   Die Lösungen sind $ x = 0 $ und $ x = \pm\sqrt{3} $.

3. **Zweite Ableitung**: Berechne die zweite Ableitung $ f''(x) $:
   $$
   f''(x) = -6x^2 + 6
   $$

4. **Bewertung der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**:
   - Für $ x = 0 $:
     $$
     f''(0) = -6(0)^2 + 6 = 6 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Minimum})
     $$
   - Für $ x = \sqrt{3} $:
     $$
     f''(\sqrt{3}) = -6(\sqrt{3})^2 + 6 = -6(3 + 6 = -12 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Maximum})
     $$
   - Für $ x = -\sqrt{3} $:
     $$
     f''(-\sqrt{3}) = -6(-\sqrt{3})^2 + 6 = -6(3) +6 = -12 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Maximum})
     $$

Zusammenfassend zeigt die Analyse, dass $ x = 0 $ ein Minimum und $ x = \pm\sqrt{3} $ Maxima sind. Die hinreichende Bedingung für ein Minimum ist, dass die zweite Ableitung positiv ist, und für ein Maximum, dass sie negativ ist.