Was sind die Grundlagen der Booleschen Algebra?

Die Boolesche Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit logischen Operationen und binären Variablen befasst. Hier sind die grundlegenden Konzepte und Operationen der Booleschen Algebra:

1. **Boolesche Variablen**: Diese können nur zwei Werte annehmen, typischerweise 0 (falsch) und 1 (wahr).

2. **Grundoperationen**:
- **UND (AND)**: Eine Operation, die nur dann wahr ist, wenn beide Operanden wahr sind. Symbolisch oft als `⋅` oder `∧` dargestellt.
- **ODER (OR)**: Eine Operation, die wahr ist, wenn mindestens einer der Operanden wahr ist. Symbolisch oft als `+` oder `∨` dargestellt.
- **NICHT (NOT)**: Eine Operation, die den Wert des Operanden invertiert. Symbolisch oft als `¬` oder `~` dargestellt.

3. **Gesetze der Booleschen Algebra**:
- **Identitätsgesetze**:
- \( A + 0 = A \)
- \( A \cdot 1 = A \)
- **Null- und Einheitsgesetze**:
- \( A + 1 = 1 \)
- \( A \cdot 0 = 0 \)
- **Idempotenzgesetze**:
- \( A + A = A \)
- \( A \cdot A = A \)
- **Komplementgesetze**:
- \( A + \overline{A} = 1 \)
- \( A \cdot \overline{A} = 0 \)
- **Kommutativgesetze**:
- \( A + B = B + A \)
- \( A \cdot B = B \cdot A \)
- **Assoziativgesetze**:
- \( (A + B) + C = A + (B + C) \)
- \( (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \)
- **Distributivgesetze**:
- \( A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) \)
- \( A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) \)

4. **De Morgan'sche Gesetze**:
- \( \overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B} \)
- \( \overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B} \)

Diese Grundlagen bilden die Basis für die Arbeit mit logischen Schaltungen und digitalen Systemen.