Zwischen dem Parabelbogen y = (1 - x^2)/4 und der x-Achse soll ein möglichst großes Rechteck eingepasst werden. Wie groß ist es?

Question

Zwischen dem Parabelbogen y = (1 - x^2)/4 und der x-Achse soll ein möglichst großes Rechteck eingepasst werden. Wie groß ist es?

Antwort

Verwandte Fragen

Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

Wie stelle ich einen Term für den Flächeninhalt eines Rechtecks in Abhängigkeit einer Seite auf?

Was ist die Nullstelle einer Normalparabel und wie berechnet man sie?

Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

Wie setzt man den Punkt P(1/3) in die Gleichung y = ax²?

Accepted Answer

Um das größte Rechteck zwischen dem Parabelbogen \( y = \frac{1 - x^2}{4} \) und der x-Achse zu finden, muss die Fläche des Rechtecks maximiert werden. Das Rechteck hat seine Basis auf der x-Achse und seine obere Seite auf der Parabel. 1. **Bestimme die Funktion für die Fläche des Rechtecks:** Die Höhe des Rechtecks ist \( y = \frac{1 - x^2}{4} \). Da das Rechteck symmetrisch zur y-Achse ist, reicht es, die Hälfte der Basis zu betrachten, also von \(-a\) bis \(a\). Die Breite des Rechtecks ist \(2a\) (von \(-a\) bis \(a\)). Die Fläche \(A\) des Rechtecks ist dann: \[ A = \text{Breite} \times \text{Höhe} = 2a \times \frac{1 - a^2}{4} \] 2. **Vereinfache die Flächenfunktion:** \[ A(a) = 2a \times \frac{1 - a^2}{4} = \frac{2a(1 - a^2)}{4} = \frac{2a - 2a^3}{4} = \frac{a - a^3}{2} \] 3. **Maximiere die Flächenfunktion:** Um die maximale Fläche zu finden, muss die Ableitung der Flächenfunktion \(A(a)\) gebildet und gleich null gesetzt werden: \[ A(a) = \frac{a - a^3}{2} \] Die Ableitung von \(A(a)\) ist: \[ A'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{a - a^3}{2} \right) = \frac{1 - 3a^2}{2} \] Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ \frac{1 - 3a^2}{2} = 0 \] \[ 1 - 3a^2 = 0 \] \[ 3a^2 = 1 \] \[ a^2 = \frac{1}{3} \] \[ a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Da \(a\) die halbe Breite des Rechtecks ist, betrachten wir nur den positiven Wert: \[ a = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 4. **Berechne die maximale Fläche:** Setze \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) in die Flächenfunktion ein: \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{3} \right)}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{2}{3\sqrt{3}}}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2}{6\sqrt{3}} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{3\sqrt{3}} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{9} \] Die maximale Fläche des Rechtecks, das zwischen dem Parabelbogen \( y

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

Accepted Answer

Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)

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Um einen Term für den Flächeninhalt \( A \) eines Rechtecks in Abhängigkeit von einer Seite aufzustellen, benötigst du die Länge einer Seite (z. B. \( a \)) und einen Ausdruck... [mehr]

Accepted Answer

Um einen Term für den Flächeninhalt \( A \) eines Rechtecks in Abhängigkeit von einer Seite aufzustellen, benötigst du die Länge einer Seite (z. B. \( a \)) und einen Ausdruck für die andere Seite (z. B. \( b \)) in Abhängigkeit von \( a \). Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Rechtecks: \[ A = a \cdot b \] Wenn die andere Seite \( b \) in Abhängigkeit von \( a \) gegeben ist, zum Beispiel \( b = f(a) \), dann lautet der Term: \[ A(a) = a \cdot f(a) \] **Beispiel:** Angenommen, der Umfang des Rechtecks ist konstant, z. B. \( U = 20 \). Dann gilt: \[ U = 2a + 2b = 20 \] \[\Rightarrow a + b = 10 \] \[\Rightarrow b = 10 - a \] Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \( a \) ist dann: \[ A(a) = a \cdot (10 - a) \] **Zusammengefasst:** Stelle die zweite Seite in Abhängigkeit von der ersten auf und setze sie in die Flächenformel ein.

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Die Nullstelle einer Normalparabel ist der Punkt (bzw. die Punkte), an dem die Parabel die x-Achse schneidet. Mathematisch bedeutet das: Die Nullstelle ist der Wert von \( x \), für den \( f(x) =... [mehr]

Accepted Answer

Die Nullstelle einer Normalparabel ist der Punkt (bzw. die Punkte), an dem die Parabel die x-Achse schneidet. Mathematisch bedeutet das: Die Nullstelle ist der Wert von \( x \), für den \( f(x) = 0 \) gilt. Eine Normalparabel hat die Funktionsgleichung: \[ f(x) = x^2 \] Um die Nullstelle zu berechnen, setzt du die Funktion gleich null: \[ x^2 = 0 \] Löse die Gleichung nach \( x \) auf: \[ x = 0 \] **Ergebnis:** Die Normalparabel \( f(x) = x^2 \) hat genau eine Nullstelle bei \( x = 0 \). **Allgemeiner Tipp:** Bei Parabeln der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) berechnest du die Nullstellen mit der Mitternachtsformel (auch "quadratische Lösungsformel" genannt): \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Bei der Normalparabel (\( a = 1, b = 0, c = 0 \)) vereinfacht sich das wie oben gezeigt.

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Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \fra... [mehr]

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \frac{1}{3} \) in die Gleichung einsetzt: \[ \frac{1}{3} = a \cdot (1)^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ \frac{1}{3} = a \] Somit ist der Wert von \( a \) gleich \( \frac{1}{3} \). Die Gleichung, die den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) enthält, lautet also: \[ y = \frac{1}{3}x^2 \]