Zwischen dem Parabelbogen y = (1 - x^2)/4 und der x-Achse soll ein möglichst großes Rechteck eingepasst werden. Wie groß ist es?

Um das größte Rechteck zwischen dem Parabelbogen \( y = \frac{1 - x^2}{4} \) und der x-Achse zu finden, muss die Fläche des Rechtecks maximiert werden. Das Rechteck hat seine Basis auf der x-Achse und seine obere Seite auf der Parabel.

1. **Bestimme die Funktion für die Fläche des Rechtecks:**

Die Höhe des Rechtecks ist \( y = \frac{1 - x^2}{4} \). Da das Rechteck symmetrisch zur y-Achse ist, reicht es, die Hälfte der Basis zu betrachten, also von \(-a\) bis \(a\).

Die Breite des Rechtecks ist \(2a\) (von \(-a\) bis \(a\)).

Die Fläche \(A\) des Rechtecks ist dann:
\[
A = \text{Breite} \times \text{Höhe} = 2a \times \frac{1 - a^2}{4}
\]

2. **Vereinfache die Flächenfunktion:**

\[
A(a) = 2a \times \frac{1 - a^2}{4} = \frac{2a(1 - a^2)}{4} = \frac{2a - 2a^3}{4} = \frac{a - a^3}{2}
\]

3. **Maximiere die Flächenfunktion:**

Um die maximale Fläche zu finden, muss die Ableitung der Flächenfunktion \(A(a)\) gebildet und gleich null gesetzt werden:
\[
A(a) = \frac{a - a^3}{2}
\]

Die Ableitung von \(A(a)\) ist:
\[
A'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{a - a^3}{2} \right) = \frac{1 - 3a^2}{2}
\]

Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden:
\[
\frac{1 - 3a^2}{2} = 0
\]
\[
1 - 3a^2 = 0
\]
\[
3a^2 = 1
\]
\[
a^2 = \frac{1}{3}
\]
\[
a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Da \(a\) die halbe Breite des Rechtecks ist, betrachten wir nur den positiven Wert:
\[
a = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

4. **Berechne die maximale Fläche:**

Setze \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) in die Flächenfunktion ein:
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3}{2}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}}{2}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{3} \right)}{2}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}}{2}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{2}{3\sqrt{3}}}{2}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2}{6\sqrt{3}}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{3\sqrt{3}}
\]
\[
A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{9}
\]

Die maximale Fläche des Rechtecks, das zwischen dem Parabelbogen \( y