Wie berechnet man den Grenzwert einer konvergenten Reihe?

Um den Grenzwert einer konvergenten Reihe zu berechnen, folge diesen Schritten:

1. **Definition der Reihe**: Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Sei \(\{a_n\}\) eine Folge, dann ist die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\).

2. **Partialsummen**: Definiere die n-te Partialsumme \(S_n\) als die Summe der ersten n Glieder der Reihe:
\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
\]

3. **Grenzwert der Partialsummen**: Wenn die Folge der Partialsummen \(\{S_n\}\) einen Grenzwert \(S\) hat, dann konvergiert die Reihe und ihr Grenzwert ist \(S\):
\[
S = \lim_{n \to \infty} S_n
\]

4. **Berechnung des Grenzwerts**: Um den Grenzwert \(S\) zu berechnen, bestimme den Grenzwert der Partialsummenfolge \(\{S_n\}\). Dies kann durch analytische Methoden, bekannte Summenformeln oder Konvergenztests geschehen.

**Beispiel**: Betrachte die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\) mit \(|r| < 1\).

- Die n-te Partialsumme ist:
\[
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}
\]

- Der Grenzwert der Partialsummenfolge ist:
\[
S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r}
\]

Daher konvergiert die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\) zu \(\frac{a}{1-r}\), wenn \(|r| < 1\).

Für andere Reihen können unterschiedliche Methoden wie der Vergleichstest, das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium angewendet werden, um die Konvergenz zu überprüfen und den Grenzwert zu berechnen.