Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: - Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und be...
Um zu bestimmen, wie der Graph der Funktion \( f(x) = (1 - x)(2x + 5) \) und die Gerade \( g \), die parallel zur x-Achse durch den Punkt \( A(1|3) \) verläuft, zueinander liegen, müssen wir zunächst die Gleichung der Geraden \( g \) aufstellen. Da die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, hat sie die Form \( y = c \), wobei \( c \) der y-Wert des Punktes \( A \) ist. In diesem Fall ist \( c = 3 \), also lautet die Gleichung der Geraden: \[ g: y = 3 \] Nun müssen wir den Graphen der Funktion \( f(x) \) untersuchen. Zuerst berechnen wir den Funktionswert an der Stelle \( x = 1 \): \[ f(1) = (1 - 1)(2 \cdot 1 + 5) = 0 \cdot 7 = 0 \] Der Punkt \( (1, 0) \) liegt also auf dem Graphen von \( f \). Jetzt vergleichen wir die y-Werte der beiden Graphen an der Stelle \( x = 1 \): - Der Graph von \( f \) hat an der Stelle \( x = 1 \) den y-Wert \( 0 \). - Die Gerade \( g \) hat den y-Wert \( 3 \). Da \( f(1) = 0 < 3 \), liegt der Graph von \( f \) unterhalb der Geraden \( g \) an der Stelle \( x = 1 \). Um zu bestimmen, wie \( K \) und \( g \) insgesamt zueinander liegen, können wir auch die allgemeine Form von \( f(x) \) untersuchen. Die Funktion \( f(x) \) ist ein Produkt von zwei linearen Faktoren und hat daher eine parabolische Form. Da der führende Koeffizient positiv ist, öffnet die Parabel nach oben. Da \( f(1) = 0 \) und die Gerade \( g \) konstant bei \( y = 3 \) verläuft, wird der Graph von \( f(x) \) die Gerade \( g \) an einem Punkt schneiden, da die Parabel die x-Achse bei \( x = 1 \) schneidet und sich dann wieder nach oben bewegt. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Graph \( K \) der Funktion \( f \) die Gerade \( g \) bei \( x = 1 \) schneidet und für \( x < 1 \) unterhalb und für \( x > 1 \) oberhalb der Geraden liegt.
Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: - Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und be...
Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf...
Die **Hauptwertfunktion** (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsv...
Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten...
Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut...
Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x...
Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \...
Um die größte gerade Zahl aus den Ziffern 4, 9, 1, 3 und 8 zu bilden, muss die letzte Ziffer eine gerade Zahl sein (also 4 oder 8). Man wählt die größte mögliche Ziffe...