Wie berechnet man den ggT von (2x^3+9x^2+7x-6) und (2x^2+x-1)?

Um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der beiden Polynome \(2x^3 + 9x^2 + 7x - 6\) und \(2x^2 + x - 1\) zu berechnen, kann Verfahren des Polynom-Euklidischen Algorithmus verwendet werden. Hier sind die Schritte:

1. **Division der Polynome**: Teile das Polynom \(2x^3 + 9x^2 + 7x - 6\) durch \(2x^2 + x - 1\) und bestimme den Quotienten und den Rest.

2. **Erster Schritt der Division**:
\[
\frac{2x^3 + 9x^2 + 7x - 6}{2x^2 + x - 1}
\]
Der Quotient ist \(x\) und der Rest ist \(8x^2 + 6x - 6\).

3. **Zweiter Schritt der Division**: Teile nun das Polynom \(2x^2 + x - 1\) durch den Rest \(8x^2 + 6x - 6\) und bestimme den neuen Rest.

4. **Zweiter Schritt der Division**:
\[
\frac{2x^2 + x - 1}{8x^2 + 6x - 6}
\]
Der Quotient ist \(\frac{1}{4}\) und der Rest ist \(-\frac{5}{4}x + \frac{1}{2}\).

5. **Dritter Schritt der Division**: Teile nun das Polynom \(8x^2 + 6x - 6\) durch den Rest \(-\frac{5}{4}x + \frac{1}{2}\) und bestimme den neuen Rest.

6. **Dritter Schritt der Division**:
\[
\frac{8x^2 + 6x - 6}{-\frac{5}{4}x + \frac{1}{2}}
\]
Der Quotient ist \(-\frac{32}{5}x - \frac{24}{5}\) und der Rest ist \(0\).

Da der Rest nun \(0\) ist, ist der ggT das letzte nicht-null Restpolynom, also \(-\frac{5}{4}x + \frac{1}{2}\).

Um den ggT in einer schöneren Form zu schreiben, multipliziere das Polynom mit \(-4/5\), um die Koeffizienten zu bereinigen:

\[
ggT = x - \frac{2}{5}
\]

Der ggT der beiden Polynome \(2x^3 + 9x^2 + 7x - 6\) und \(2x^2 + x - 1\) ist also \(x - \frac{2}{5}\).