Finde alle geordneten Paare, deren Produkt 8-mal so groß wie ihre Summe ist.

Um die geordneten Paare \((x, y)\) zu finden, deren Produkt 8 mal so groß ist wie ihre Summe, stellen wir die Gleichung auf:

\[
xy = 8(x + y)
\]

Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite:

\[
xy - 8x - 8y = 0
\]

Wir können die Gleichung umformen:

\[
xy - 8x - 8y + 64 = 64
\]

Das lässt sich als Produkt faktorisieren:

\[
(x - 8)(y - 8) = 64
\]

Nun müssen wir die möglichen Werte für \((x - 8)\) und \((y - 8)\) finden, die das Produkt 64 ergeben. Die Faktoren von 64 sind:

\[
(1, 64), (2, 32), (4, 16), (8, 8), (-1, -64), (-2, -32), (-4, -16), (-8, -8)
\]

Für jedes Paar \((a, b)\) gilt:

\[
x - 8 = a \quad \text{und} \quad y - 8 = b
\]

Das bedeutet:

\[
x = a + 8 \quad \text{und} \quad y = b + 8
\]

Nun berechnen wir die geordneten Paare:

1. \( (1, 64) \):
- \( x = 1 + 8 = 9 \)
- \( y = 64 + 8 = 72 \)
- Paar: \( (9, 72) \)

2. \( (2, 32) \):
- \( x = 2 + 8 = 10 \)
- \( y = 32 + 8 = 40 \)
- Paar: \( (10, 40) \)

3. \( (4, 16) \):
- \( x = 4 + 8 = 12 \)
- \( y = 16 + 8 = 24 \)
- Paar: \( (12, 24) \)

4. \( (8, 8) \):
- \( x = 8 + 8 = 16 \)
- \( y = 8 + 8 = 16 \)
- Paar: \( (16, 16) \)

5. \( (-1, -64) \):
- \( x = -1 + 8 = 7 \)
- \( y = -64 + 8 = -56 \)
- Paar: \( (7, -56) \)

6. \( (-2, -32) \):
- \( x = -2 + 8 = 6 \)
- \( y = -32 + 8 = -24 \)
- Paar: \( (6, -24) \)

7. \( (-4, -16) \):
- \( x = -4 + 8 = 4 \)
- \( y = -16 + = -8 \)
- Paar: \( (4, -8) \)

8. \( (-8, -8) \):
- \( x = -8 + 8 = 0 \)
- \( y = -8 + 8 = 0 \)
- Paar: \( (0, 0) \)

Die geordneten Paare, deren Produkt 8 mal so groß wie ihre Summe ist, sind:

\[
(9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (7, -56), (6, -24), (4, -8), (0, 0)
\]