Finde alle geordneten Paare, deren Produkt 8-mal so groß wie ihre Summe ist.

Um die geordneten Paare \((x, y)\) zu finden, deren Produkt 8 mal so groß ist wie ihre Summe, stellen wir die Gleichung auf: \[ xy = 8(x + y) \] Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite: \[ xy - 8x - 8y = 0 \] Wir können die Gleichung umformen: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Das lässt sich als Produkt faktorisieren: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Nun müssen wir die möglichen Werte für \((x - 8)\) und \((y - 8)\) finden, die das Produkt 64 ergeben. Die Faktoren von 64 sind: \[ (1, 64), (2, 32), (4, 16), (8, 8), (-1, -64), (-2, -32), (-4, -16), (-8, -8) \] Für jedes Paar \((a, b)\) gilt: \[ x - 8 = a \quad \text{und} \quad y - 8 = b \] Das bedeutet: \[ x = a + 8 \quad \text{und} \quad y = b + 8 \] Nun berechnen wir die geordneten Paare: 1. \( (1, 64) \): - \( x = 1 + 8 = 9 \) - \( y = 64 + 8 = 72 \) - Paar: \( (9, 72) \) 2. \( (2, 32) \): - \( x = 2 + 8 = 10 \) - \( y = 32 + 8 = 40 \) - Paar: \( (10, 40) \) 3. \( (4, 16) \): - \( x = 4 + 8 = 12 \) - \( y = 16 + 8 = 24 \) - Paar: \( (12, 24) \) 4. \( (8, 8) \): - \( x = 8 + 8 = 16 \) - \( y = 8 + 8 = 16 \) - Paar: \( (16, 16) \) 5. \( (-1, -64) \): - \( x = -1 + 8 = 7 \) - \( y = -64 + 8 = -56 \) - Paar: \( (7, -56) \) 6. \( (-2, -32) \): - \( x = -2 + 8 = 6 \) - \( y = -32 + 8 = -24 \) - Paar: \( (6, -24) \) 7. \( (-4, -16) \): - \( x = -4 + 8 = 4 \) - \( y = -16 + = -8 \) - Paar: \( (4, -8) \) 8. \( (-8, -8) \): - \( x = -8 + 8 = 0 \) - \( y = -8 + 8 = 0 \) - Paar: \( (0, 0) \) Die geordneten Paare, deren Produkt 8 mal so groß wie ihre Summe ist, sind: \[ (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (7, -56), (6, -24), (4, -8), (0, 0) \]