Finde ein Gegenbeispiel zur Aussage: Wenn der Graph von f eine Rechtskurve in I ist, dann gilt f''(x)<0 für alle x in I.

Question

Finde ein Gegenbeispiel zur Aussage: Wenn der Graph von f eine Rechtskurve in I ist, dann gilt f''(x)<0 für alle x in I.

Antwort

Verwandte Fragen

Ist eine Linie im mathematischen Sinn auch eine Kurve, da beide durch Krümmung unterschieden werden?

Was unterscheidet eine geometrische Linie von einer Kurve?

Wie bestimme ich den größten Funktionswert von f im Intervall [-4;5] anhand eines Graphen?

Accepted Answer

Die Aussage besagt, dass wenn der Graph einer Funktion \( f \) in einem Intervall \( I \ eine Rechtskurve hat, dann ist die zweite Ableitung \( f''(x) < 0 \) für alle \( x \) in \( I \). Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \( f(x) = x^3 \). - Die erste Ableitung ist \( f'(x) = 3x^2 \), die für \( x \neq 0 \) positiv ist, was bedeutet, dass der Graph in diesem Bereich steigt. - Die zweite Ableitung ist \( f''(x) = 6x \). In dem Intervall \( I = (-1, 1) \) hat der Graph von \( f \) eine Rechtskurve, da die Funktion in diesem Bereich steigt und die Krümmung sich ändert. Für \( x < 0 \) ist \( f''(x) < 0 \) (linkskurvig), und für \( x > 0 \) ist \( f''(x) > 0 \) (rechtskurvig). Bei \( x = 0 \) ist \( f''(0) = 0 \). Somit ist die Aussage falsch, da es Punkte im Intervall gibt, wo \( f''(x) \) nicht negativ ist.

Accepted Answer

Im mathematischen und geometrischen Sinn ist eine **Linie** (meist als „Gerade“ bezeichnet) ein Spezialfall einer **Kurve**. Eine Kurve ist allgemein eine stetige, oft glatte Verbindung vo... [mehr]

Accepted Answer

Im mathematischen und geometrischen Sinn ist eine **Linie** (meist als „Gerade“ bezeichnet) ein Spezialfall einer **Kurve**. Eine Kurve ist allgemein eine stetige, oft glatte Verbindung von Punkten im Raum. Eine Gerade ist eine Kurve mit konstanter Richtung und **Krümmung null**. **Unterschied:** - Eine **Kurve** kann überall unterschiedliche Krümmung haben, also gebogen sein. - Eine **Gerade** (Linie) ist eine Kurve, bei der die Krümmung überall null ist – sie ist also „unendlich flach“. **Fazit:** Ja, im Prinzip ist eine Linie (Gerade) eine spezielle Kurve – nämlich eine mit konstanter, nämlich null Krümmung. Die Methoden zur Erzeugung (z.B. durch Bewegung eines Punktes) sind gleich, nur das Ergebnis unterscheidet sich durch die Krümmung.

Accepted Answer

Eine geometrische Linie ist in der Mathematik eine unendliche, gerade Verbindung zwischen zwei Punkten ohne Breite und Dicke. Sie verläuft immer in einer Richtung und hat keine Krümmung. Ei... [mehr]

Accepted Answer

Eine geometrische Linie ist in der Mathematik eine unendliche, gerade Verbindung zwischen zwei Punkten ohne Breite und Dicke. Sie verläuft immer in einer Richtung und hat keine Krümmung. Eine Kurve hingegen ist eine geometrische Figur, die nicht gerade verläuft, sondern sich in beliebiger Weise krümmen kann. Sie kann offen oder geschlossen sein und ihre Richtung beliebig oft ändern. Zusammengefasst: - **Linie:** immer gerade, keine Krümmung - **Kurve:** kann gekrümmt sein, Richtung kann sich ändern Beide sind idealisierte mathematische Objekte ohne Breite und Dicke.

Accepted Answer

Wenn in einer Aufgabe verlangt wird, den größten Funktionswert von \( f \) auf dem Intervall \( D_f = [-4; 5] \) anzugeben und du einen Graphen der Funktion vorliegen hast, gehst du folgend... [mehr]

Accepted Answer

Wenn in einer Aufgabe verlangt wird, den größten Funktionswert von \( f \) auf dem Intervall \( D_f = [-4; 5] \) anzugeben und du einen Graphen der Funktion vorliegen hast, gehst du folgendermaßen vor: 1. **Suche das Intervall:** Schau auf dem Graphen nach, wo die x-Werte von \(-4\) bis \(5\) liegen. 2. **Lies die Funktionswerte ab:** Sieh dir an, welche y-Werte (Funktionswerte) die Funktion in diesem Bereich annimmt. 3. **Finde das Maximum:** Suche den höchsten Punkt des Graphen im Intervall \([-4; 5]\). Das ist der größte Funktionswert. 4. **Berücksichtige Randwerte:** Überprüfe auch die Funktionswerte an den Randpunkten \(x = -4\) und \(x = 5\), da das Maximum auch dort liegen kann. 5. **Antwort notieren:** Schreibe den größten abgelesenen y-Wert als Antwort auf. Falls verlangt, gib auch die zugehörige x-Stelle an. **Beispiel:** Wenn du am Graphen abliest, dass der höchste Punkt im Intervall bei \(x = 2\) liegt und dort \(f(2) = 7\) ist, dann ist der größte Funktionswert \(7\). **Zusammengefasst:** Der größte Funktionswert ist der höchste y-Wert, den du im angegebenen Intervall am Graphen ablesen kannst.