Finde ein Gegenbeispiel zur Aussage: Wenn der Graph von f eine Rechtskurve in I ist, dann gilt f''(x)<0 für alle x in I.

Question

Finde ein Gegenbeispiel zur Aussage: Wenn der Graph von f eine Rechtskurve in I ist, dann gilt f''(x)<0 für alle x in I.

Antwort

Verwandte Fragen

Wie berechne ich, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

Ist eine Linie im mathematischen Sinn auch eine Kurve, da beide durch Krümmung unterschieden werden?

Was unterscheidet eine geometrische Linie von einer Kurve?

Accepted Answer

Die Aussage besagt, dass wenn der Graph einer Funktion \( f \) in einem Intervall \( I \ eine Rechtskurve hat, dann ist die zweite Ableitung \( f''(x) < 0 \) für alle \( x \) in \( I \). Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \( f(x) = x^3 \). - Die erste Ableitung ist \( f'(x) = 3x^2 \), die für \( x \neq 0 \) positiv ist, was bedeutet, dass der Graph in diesem Bereich steigt. - Die zweite Ableitung ist \( f''(x) = 6x \). In dem Intervall \( I = (-1, 1) \) hat der Graph von \( f \) eine Rechtskurve, da die Funktion in diesem Bereich steigt und die Krümmung sich ändert. Für \( x < 0 \) ist \( f''(x) < 0 \) (linkskurvig), und für \( x > 0 \) ist \( f''(x) > 0 \) (rechtskurvig). Bei \( x = 0 \) ist \( f''(0) = 0 \). Somit ist die Aussage falsch, da es Punkte im Intervall gibt, wo \( f''(x) \) nicht negativ ist.

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten des Punktes.** Zum Beispiel: \( P(1|5) \) 3. **Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.** \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) 4. **Vergleiche das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.** Wenn \( f(1) = 5 \) und der Punkt \( P(1|5) \) ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen. **Allgemein:** Ein Punkt \( P(x_0|y_0) \) liegt auf dem Graphen der Funktion \( f(x) \), wenn gilt: \( f(x_0) = y_0 \) **Beispiel mit einer anderen Funktion:** Funktion: \( f(x) = x^2 \) Punkt: \( Q(2|4) \) Prüfung: \( f(2) = 2^2 = 4 \) → Punkt liegt auf dem Graphen. **Zusammenfassung:** Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Ist das Ergebnis gleich dem y-Wert des Punktes, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Accepted Answer

Im mathematischen und geometrischen Sinn ist eine **Linie** (meist als „Gerade“ bezeichnet) ein Spezialfall einer **Kurve**. Eine Kurve ist allgemein eine stetige, oft glatte Verbindung vo... [mehr]

Accepted Answer

Im mathematischen und geometrischen Sinn ist eine **Linie** (meist als „Gerade“ bezeichnet) ein Spezialfall einer **Kurve**. Eine Kurve ist allgemein eine stetige, oft glatte Verbindung von Punkten im Raum. Eine Gerade ist eine Kurve mit konstanter Richtung und **Krümmung null**. **Unterschied:** - Eine **Kurve** kann überall unterschiedliche Krümmung haben, also gebogen sein. - Eine **Gerade** (Linie) ist eine Kurve, bei der die Krümmung überall null ist – sie ist also „unendlich flach“. **Fazit:** Ja, im Prinzip ist eine Linie (Gerade) eine spezielle Kurve – nämlich eine mit konstanter, nämlich null Krümmung. Die Methoden zur Erzeugung (z.B. durch Bewegung eines Punktes) sind gleich, nur das Ergebnis unterscheidet sich durch die Krümmung.

Accepted Answer

Eine geometrische Linie ist in der Mathematik eine unendliche, gerade Verbindung zwischen zwei Punkten ohne Breite und Dicke. Sie verläuft immer in einer Richtung und hat keine Krümmung. Ei... [mehr]

Accepted Answer

Eine geometrische Linie ist in der Mathematik eine unendliche, gerade Verbindung zwischen zwei Punkten ohne Breite und Dicke. Sie verläuft immer in einer Richtung und hat keine Krümmung. Eine Kurve hingegen ist eine geometrische Figur, die nicht gerade verläuft, sondern sich in beliebiger Weise krümmen kann. Sie kann offen oder geschlossen sein und ihre Richtung beliebig oft ändern. Zusammengefasst: - **Linie:** immer gerade, keine Krümmung - **Kurve:** kann gekrümmt sein, Richtung kann sich ändern Beide sind idealisierte mathematische Objekte ohne Breite und Dicke.