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Finde eine ganzrationale Funktion 2. Grades durch die Punkte A(-1|0), B(0|-1), und C(1|0).
Antwort vomUm eine ganzrationale Funktion zweiten Grades (Quadratische Funktion) zu finden, die durch die Punkte A(-1|0), B(0|-1) und C(1|0) verläuft, kannst du die allgemeine Form einer quadratischen Funktion verwenden: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Da die Funktion durch die Punkte verläuft, kannst du die Koordinaten der Punkte in die Gleichung einsetzen, um ein Gleichungssystem zu erstellen. 1. Für Punkt A(-1|0): \[ 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c \] \[ 0 = a - b + c \] (Gleichung 1) 2. Für Punkt B(0|-1): \[ -1 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ -1 = c \] (Gleichung 2) 3. Für Punkt C(1|0): \[ 0 = a(1)^2 + b(1) + c \] \[ 0 = a + b + c \] (Gleichung 3) Jetzt setzen wir \( c = -1 \) aus Gleichung 2 in die anderen Gleichungen ein: - Gleichung 1: \[ 0 = a - b - 1 \] \[ a - b = 1 \] (Gleichung 4) - Gleichung 3: \[ 0 = a + b - 1 \] \[ a + b = 1 \] (Gleichung 5) Jetzt hast du ein System von zwei Gleichungen (Gleichung 4 und Gleichung 5): 1. \( a - b = 1 \) 2. \( a + b = 1 \) Addiere die beiden Gleichungen: \[ (a - b) + (a + b) = 1 + 1 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] Setze \( a = 1 \) in Gleichung 5 ein: \[ 1 + b = 1 \] \[ b = 0 \] Jetzt haben wir die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \): - \( a = 1 \) - \( b = 0 \) - \( c = -1 \) Die gesuchte Funktion ist also: \[ f(x) = 1x^2 + 0x - 1 \] \[ f(x) = x^2 - 1 \] Diese Funktion verläuft durch die Punkte A, B und C.
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