Eine ganzrationale Funktion 2. Grades f(x)=ax²+bx+c hat ein Extremum bei x=1 und schneidet die x-Achse bei x=4 mit der Steigung 3. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Die Funktion, die du angibst, ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades, die in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) geschrieben wird. Allerdings hast du \( ax^{\frac{2}{3}} \) angegeben, was nicht der Form einer ganzrationalen Funktion 2. Grades entspricht. Ich nehme an, dass du eine Funktion 2. Grades meinst.

Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen:

1. **Extremum bei \( x = 1 \)**: Das bedeutet, dass die erste Ableitung \( f'(x) \) an dieser Stelle gleich null ist.
2. **Schneidet die x-Achse bei \( x = 4 \)**: Das bedeutet, dass \( f(4) = 0 \).
3. **Steigung bei \( x = 4 \) ist 3**: Das bedeutet, dass \( f'(4) = 3 \).

Die allgemeine Form der Funktion ist:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Die erste Ableitung ist:
\[ f'(x) = 2ax + b \]

### Schritt 1: Extremum bei \( x = 1 \)
Setze \( x = 1 \) in die Ableitung ein:
\[ f'(1) = 2a(1) + b = 0 \]
Das ergibt:
\[ 2a + b = 0 \quad (1) \]

### Schritt 2: Funktion schneidet die x-Achse bei \( x = 4 \)
Setze \( x = 4 \) in die Funktion ein:
\[ f(4) = a(4^2) + b(4) + c = 0 \]
Das ergibt:
\[ 16a + 4b + c = 0 \quad (2) \]

### Schritt 3: Steigung bei \( x = 4 \) ist 3
Setze \( x = 4 \) in die Ableitung ein:
\[ f'(4) = 2a(4) + b = 3 \]
Das ergibt:
\[ 8a + b = 3 \quad (3) \]

### Schritt 4: Gleichungssystem lösen
Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen:

1. \( 2a + b = 0 \)
2. \( 16a + 4b + c = 0 \)
3. \( 8a + b = 3 \)

Setze \( b \) aus Gleichung (1) in (3) ein:
\[ 8a - 2a = 3 \]
Das ergibt:
\[ 6a = 3 \]
\[ a = \frac{1}{2} \]

Setze \( a \) in (1) ein, um \( b \) zu finden:
\[ 2\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0 \]
Das ergibt:
\[ 1 + b = 0 \]
\[ b = -1 \]

Setze \( a \) und \( b \) in (2) ein, um \( c \) zu finden:
\[ 16\left(\frac{1}{2}\right) + 4(-1) + c = 0 \]
Das ergibt:
\[ 8 - 4 + c = 0 \]
\[ c = -4 \]

### Funktionsgleichung
Die Funktionsgleichung lautet somit:
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 4 \]