1 Frage zu Extremum

Die Funktion, die du angibst, ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades, die in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) geschrieben wird. Allerdings hast du \( ax^{\frac{2}{3}} \) angegeben, was nicht der Form einer ganzrationalen Funktion 2. Grades entspricht. Ich nehme an, dass du eine Funktion 2. Grades meinst. Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen: 1. **Extremum bei \( x = 1 \)**: Das bedeutet, dass die erste Ableitung \( f'(x) \) an dieser Stelle gleich null ist. 2. **Schneidet die x-Achse bei \( x = 4 \)**: Das bedeutet, dass \( f(4) = 0 \). 3. **Steigung bei \( x = 4 \) ist 3**: Das bedeutet, dass \( f'(4) = 3 \). Die allgemeine Form der Funktion ist: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Die erste Ableitung ist: \[ f'(x) = 2ax + b \] ### Schritt 1: Extremum bei \( x = 1 \) Setze \( x = 1 \) in die Ableitung ein: \[ f'(1) = 2a(1) + b = 0 \] Das ergibt: \[ 2a + b = 0 \quad (1) \] ### Schritt 2: Funktion schneidet die x-Achse bei \( x = 4 \) Setze \( x = 4 \) in die Funktion ein: \[ f(4) = a(4^2) + b(4) + c = 0 \] Das ergibt: \[ 16a + 4b + c = 0 \quad (2) \] ### Schritt 3: Steigung bei \( x = 4 \) ist 3 Setze \( x = 4 \) in die Ableitung ein: \[ f'(4) = 2a(4) + b = 3 \] Das ergibt: \[ 8a + b = 3 \quad (3) \] ### Schritt 4: Gleichungssystem lösen Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen: 1. \( 2a + b = 0 \) 2. \( 16a + 4b + c = 0 \) 3. \( 8a + b = 3 \) Setze \( b \) aus Gleichung (1) in (3) ein: \[ 8a - 2a = 3 \] Das ergibt: \[ 6a = 3 \] \[ a = \frac{1}{2} \] Setze \( a \) in (1) ein, um \( b \) zu finden: \[ 2\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0 \] Das ergibt: \[ 1 + b = 0 \] \[ b = -1 \] Setze \( a \) und \( b \) in (2) ein, um \( c \) zu finden: \[ 16\left(\frac{1}{2}\right) + 4(-1) + c = 0 \] Das ergibt: \[ 8 - 4 + c = 0 \] \[ c = -4 \] ### Funktionsgleichung Die Funktionsgleichung lautet somit: \[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 4 \]