Hat jede ganzrationale Funktion 3. Grades drei Nullstellen?

Question

Hat jede ganzrationale Funktion 3. Grades drei Nullstellen?

Antwort

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Nullstellen berechnen für x^(3)+4x^(2)+3x

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

(A^3 - b^3)(a^3 + b^3)?

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Vereinfache (x+6)(x+6).

x² - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x?

Beurteile die Aussage: Keine Gleichung vierten Grades hat die Lösungen -5, 0 und 5.

Jede Gleichung dritten Grades hat mindestens eine Lösung.

Accepted Answer

Diese Aussage ist nicht korrekt. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades (auch kubische Funktion genannt) hat nicht zwingend drei Nullstellen. Die Anzahl der Nullstellen hängt von der Beschaffenheit der Funktion und den komplexen Zahlen ab. Hier sind die möglichen Szenarien: 1. **Drei reelle Nullstellen**: Dies tritt auf, wenn die Funktion drei verschiedene reelle Nullstellen hat oder eine reelle Nullstelle mit Vielfachheit drei. 2. **Eine reelle und zwei komplexe Nullstellen**: Dies tritt auf, wenn die Funktion eine reelle Nullstelle und ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen hat. 3. **Eine reelle Nullstelle mit Vielfachheit drei**: Dies tritt auf, wenn die Funktion eine dreifache reelle Nullstelle hat. Die allgemeine Form einer kubischen Funktion ist \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), wobei \( a, b, c \) und \( d \) reelle Zahlen sind und \( a \neq 0 \). Die Nullstellen dieser Funktion sind die Lösungen der Gleichung \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \). Diese Gleichung kann bis zu drei Lösungen haben, die reell oder komplex sein können. Zusammengefasst: Eine kubische Funktion hat immer genau drei Nullstellen, wenn man die komplexen Nullstellen mitzählt, aber nicht notwendigerweise drei reelle Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \] Zuerst kann man \( x \) ausklammern: \[ x(x^2 + 4x + 3) = 0... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \] Zuerst kann man \( x \) ausklammern: \[ x(x^2 + 4x + 3) = 0 \] Das ergibt eine Nullstelle bei \( x = 0 \). Jetzt müssen wir die quadratische Gleichung \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) lösen. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 4 \) und \( c = 3 \): 1. Berechne die Diskriminante: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] 2. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] Die Nullstellen der Funktion sind also: 1. \( x = 0 \) 2. \( x = -1 \) 3. \( x = -3 \)

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

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Um den Ausdruck \((x + 6)(x + 6)\) zu vereinfachen, kannst du die binomische Formel verwenden. Dies ist ein Quadrat eines Binoms, das wie folgt aussieht: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] In deinem... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((x + 6)(x + 6)\) zu vereinfachen, kannst du die binomische Formel verwenden. Dies ist ein Quadrat eines Binoms, das wie folgt aussieht: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] In deinem Fall ist \(a = x\) und \(b = 6\). Daher ergibt sich: \[ (x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x^2 + 12x + 36 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ x^2 + 12x + 36 \]

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Um den Ausdruck \( x^2 - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne das Produkt \( (x + 2)(x - 2) \): \[ (x + 2)(x - 2 = x^2 4 ] 2. Setze das Ergebnis in... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( x^2 - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne das Produkt \( (x + 2)(x - 2) \): \[ (x + 2)(x - 2 = x^2 4 ] 2. Setze das Ergebnis in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ x^2 - 6 - (x^2 - 4) + 2x \] 3. Vereinfache den Ausdruck: \[ x^2 - 6 - x^2 + 4 + 2x \] 4. Die \( x^2 \) Terme heben sich auf: \[ -6 + 4 + 2x = 2x - 2 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ 2x - 2 \]

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Die Aussage ist falsch. Eine Gleichung vierten Grades kann bis zu vier Lösungen (Wurzeln) haben, und es ist möglich, dass sie die Lösungen -5, 0 und 5 hat. Um eine solche Gleichung zu k... [mehr]

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Die Aussage ist falsch. Eine Gleichung vierten Grades kann bis zu vier Lösungen (Wurzeln) haben, und es ist möglich, dass sie die Lösungen -5, 0 und 5 hat. Um eine solche Gleichung zu konstruieren, kann man die bekannten Wurzeln in die Faktorisierung einbeziehen. Eine mögliche Gleichung könnte zum Beispiel so aussehen: \( f(x) = (x + 5)(x)(x - 5)(x - r) \) Hierbei ist \( r \) eine weitere Wurzel, die die Gleichung vervollständigt. Da es unendlich viele Möglichkeiten für \( r \) gibt, ist es durchaus möglich, eine Gleichung vierten Grades zu finden, die die Lösungen -5, 0 und 5 enthält.

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Die Aussage ist korrekt. Jede Gleichung dritten Grades (auch kubische Gleichung genannt) hat mindestens eine Lösung im Bereich der komplexen Zahlen. Dies folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra... [mehr]

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Die Aussage ist korrekt. Jede Gleichung dritten Grades (auch kubische Gleichung genannt) hat mindestens eine Lösung im Bereich der komplexen Zahlen. Dies folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jede nicht konstante polynomiale Gleichung mindestens so viele Lösungen hat, wie der Grad des Polynoms angibt. Da eine Gleichung dritten Grades ein Polynom dritten Grades ist, hat sie also mindestens eine Lösung, die entweder reell oder komplex sein kann.