Sind y = x² + 1 und y = 1,5x² - 9x + 15 gleich?

Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen \( y = x^2 + 1 \) und \( y = 1,5x^2 - 9x + 15 \) zu finden, setzt man die beiden Gleichungen gleich: \[ x^2 + 1 = 1,5x^2 - 9x + 15 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere \( x^2 \) von beiden Seiten: \[ 1 = 0,5x^2 - 9x + 15 \] 2. Bringe alle Terme auf eine Seite, um eine Null auf der anderen Seite zu haben: \[ 0,5x^2 - 9x + 14 = 0 \] 3. Multipliziere die gesamte Gleichung mit 2, um die Dezimalstellen zu entfernen: \[ x^2 - 18x + 28 = 0 \] Nun löst man die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier sind \( a = 1 \), \( b = -18 \) und \( c = 28 \): \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 112}}{2} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{212}}{2} \] \[ x = \frac{18 \pm 2\sqrt{53}}{2} \] \[ x = 9 \pm \sqrt{53} \] Die Lösungen sind also: \[ x_1 = 9 + \sqrt{53} \] \[ x_2 = 9 - \sqrt{53} \] Um die y-Werte zu finden, setzt man diese x-Werte in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \( y = x^2 + 1 \): Für \( x_1 = 9 + \sqrt{53} \): \[ y_1 = (9 + \sqrt{53})^2 + 1 \] Für \( x_2 = 9 - \sqrt{53} \): \[ y_2 = (9 - \sqrt{53})^2 + 1 \] Die genauen y-Werte können durch Ausrechnen der Quadrate und Addition von 1 gefunden werden.