Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Zeige, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets drei auswählen lassen, deren Summe durch drei teilbar ist.
Antwort vomUm zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als das Schubfachprinzip). 1. **Restklassenbildung**: Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Restklassen fällt. 2. **Anzahl der Zahlen**: Wenn wir fünf natürliche Zahlen haben, können wir diese in die drei Restklassen (0, 1, 2) einordnen. 3. **Anwendung des Schubfachprinzips**: Da es nur drei Restklassen gibt und wir fünf Zahlen haben, müssen mindestens zwei dieser Zahlen in einer der Restklassen liegen. Das bedeutet, dass wir mindestens zwei Zahlen haben, die den gleichen Rest haben. 4. **Fallunterscheidung**: - **Fall 1**: Wenn mindestens drei Zahlen den Rest 0 haben, ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar. - **Fall 2**: Wenn zwei Zahlen den Rest 1 und eine Zahl den Rest 0 haben, dann ist die Summe dieser zwei Zahlen (Rest 1) plus die Zahl (Rest 0) ebenfalls durch 3 teilbar. - **Fall 3**: Wenn zwei Zahlen den Rest 2 und eine Zahl den Rest 0 haben, ist die Summe dieser zwei Zahlen (Rest 2) plus die Zahl (Rest 0) ebenfalls durch 3 teilbar. - **Fall 4**: Wenn eine Zahl den Rest 0, eine den Rest 1 und eine den Rest 2 hat, dann ist die Summe dieser drei Zahlen ebenfalls durch 3 teilbar (0 + 1 + 2 = 3). Durch diese Überlegungen zeigt sich, dass es immer möglich ist, aus fünf natürlichen Zahlen drei auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.
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