Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Quadrates bei Verdopplung der Kantenlänge?

Question

Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Quadrates bei Verdopplung der Kantenlänge?

Antwort

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Warum ist die Wurzel aus a² gleich dem Betrag von a?

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Der Flächeninhalt eines Quadrates berechnet sich durch die Formel \( A = a^2 \), wobei \( a \) die Kantenlänge ist. Für ein Quadrat mit einer Kantenlänge von 6 cm ist der Flächeninhalt: \[ A_1 = 6^2 = 36 \, \text{cm}^2 \] Wenn die Kantenlänge verdoppelt wird, beträgt die neue Kantenlänge 12 cm. Der neue Flächeninhalt ist dann: \[ A_2 = 12^2 = 144 \, \text{cm}^2 \] Die Änderung des Flächeninhalts ist die Differenz zwischen dem neuen und dem ursprünglichen Flächeninhalt: \[ \Delta A = A_2 - A_1 = 144 \, \text{cm}^2 - 36 \, \text{cm}^2 = 108 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt ändert sich also um 108 Quadratzentimeter.

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Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \)... [mehr]

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Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \), also \( a^2 \), ist immer **nicht-negativ** (egal, ob \( a \) positiv oder negativ ist). - Die Quadratwurzel \( \sqrt{x} \) ist per Definition die **nicht-negative** Zahl, deren Quadrat \( x \) ergibt. - Wenn du also \( \sqrt{a^2} \) berechnest, suchst du die nicht-negative Zahl, deren Quadrat \( a^2 \) ist. Das ist genau der **Betrag von \( a \)**, also \( |a| \). **Beispiel:** - Für \( a = 3 \): \( \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 = |3| \) - Für \( a = -3 \): \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3| \) **Zusammengefasst:** \[ \sqrt{a^2} = |a| \] weil die Wurzel immer den nicht-negativen Wert liefert, unabhängig davon, ob \( a \) selbst positiv oder negativ ist.