Welche Fläche schließt die Funktion f(x)=x³+3x²−x−3 mit der x-Achse ein?

Um die Fläche zu bestimmen, die die Funktion \( f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3 \) mit der x-Achse einschließt, müssen wir zunächst die Nullstellen der Funktion finden. Diese Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse schneidet. 1. **Nullstellen finden**: Wir setzen \( f(x) = 0 \): \[ x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0 \] Um die Nullstellen zu finden, können wir verschiedene Methoden wie Faktorisierung oder numerische Verfahren verwenden. In diesem Fall können wir durch Ausprobieren feststellen, dass \( x = 1 \) eine Nullstelle ist: \[ f(1) = 1^3 + 3(1^2) - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - = 0 \] Nun können wir \( f(x) \) durch \( (x - 1) \) teilen, um die anderen Nullstellen zu finden. Wir verwenden die Polynomdivision: \[ f(x) = (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \] Das quadratische Polynom \( x^2 + 4x + 3 \) kann weiter faktorisieren: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \] Somit sind die Nullstellen: \[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = -3 \] 2. **Fläche berechnen**: Die Fläche, die die Funktion mit der x-Achse einschließt, wird durch das Integral zwischen den Nullstellen berechnet. Wir müssen die Integrale in den Intervallen \([-3, -1]\) und \([-1, 1]\) betrachten, da die Funktion in diesen Intervallen unter der x-Achse liegt. \[ A = \int_{-3}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} -f(x) \, dx \] Berechne die Integrale: \[ A_1 = \int_{-3}^{-1} (x^3 + 3x^2 - x - 3) \, dx \] \[ A_2 = \int_{-1}^{1} -(x^3 + 3x^2 - x - 3) \, dx \] Die Berechnung der Integrale ergibt: \[ A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{-3}^{-1} \] \[ A_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-1}^{1} \] Nach der Berechnung der Werte an den Grenzen und der Subtraktion erhältst du die Gesamtfläche. 3. **Endergebnis**: Die Fläche, die die Funktion mit der x-Achse einschließt, ist die Summe der beiden Flächen \( A_1 \) und \( A_2 \). Die genaue Berechnung der Integrale führt zu einem spezifischen Wert für die Fläche.