Zeige, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen auswählen lassen, deren Summe durch drei teilbar ist.

Antwort vom

Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch drei teilbar ist, nutzen wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als das Schubfachprinzip). Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch drei geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 0 haben. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. Wenn wir fünf natürliche Zahlen haben, können wir diese in die drei Klassen einordnen. Nach dem Schubfachprinzip müssen mindestens zwei dieser fünf Zahlen in einer der Klassen liegen, da es nur drei Klassen gibt. Es gibt nun mehrere Fälle zu betrachten: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen in einer Klasse (z.B. drei Zahlen mit Rest 0). In diesem Fall ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar. 2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen in einer Klasse und zwei in einer anderen (z.B. zwei mit Rest 1 und zwei mit Rest 2). In diesem Fall können wir eine Zahl aus der Klasse mit Rest 1 und zwei Zahlen aus der Klasse mit Rest 2 auswählen. Die Summe wäre dann \(1 + 2 + 2 = 5\), was einen Rest von 2 hat. Alternativ können wir zwei Zahlen aus der Klasse mit Rest 1 und eine aus der Klasse mit Rest 2 wählen, was \(1 + 1 + 2 = 4\) ergibt, was einen Rest von 1 hat. In beiden Fällen haben wir jedoch nicht die gewünschte Summe. 3. **Fall 3:** Es gibt eine Zahl in jeder Klasse (z.B. eine mit Rest 0, eine mit Rest 1 und eine mit Rest 2). In diesem Fall ist die Summe \(0 + 1 + 2 = 3\), die durch 3 teilbar ist. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass in jedem Fall, den wir betrachten, immer mindestens drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch drei teilbar ist. Daher ist die Aussage bewiesen.

Verwandte Fragen

Welche Zahlen stehen für die Buchstaben bei A+c=d, a×b=c, c-b=b und a×4=d?

Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...

Welche Zahlen stehen für die Buchstaben bei A + c = b, a × b = c, c - b = b und a × 4 = d?

Aus den Gleichungen: 1. A + c = b 2. a × b = c 3. c - b = b 4. a × 4 = d folgt: Aus c - b = b wird: c = 2b Aus a × b = c wird dann: a × b = 2b Für b ≠ 0 gilt also...

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 9?

Ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 9 ist jedes Vielfache ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV). Da 4 = 2² und 9 = 3², ist das kgV = 2² · 3² = 36. Gemeinsame Viel...

Was ist 30 + 30?

30 + 30 = 60.

Wie viel ist 10 + 10?

10 + 10 = 20.

Was ist 1 plus 1?

Eins plus ergibt zwei.

Wie viel Zeit braucht man, um bis eine Milliarde zu zählen?

Um auf eine Milliarde (1.000.000.000) hochzuzählen, kommt es darauf an, wie schnell du zählst. Nehmen wir an, du zählst jede Zahl in einer Sekunde (was schon sehr schnell und ohne Pause...

Was sind rationale Zahlen?

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner nicht null ist. Das bedeutet, jede Zahl der Form \( \frac...

Wie rundet man 997 auf die nächste Zehnerstelle?

997 auf die nächste Zehnerstelle gerundet ergibt 1.000.

Wie rundet man 255 auf die nächste 10er-Stelle?

255 auf die nächste 10 gerundet ergibt 260.