Lässt sich aus vier natürlichen Zahlen stets eine Auswahl von drei finden, deren Summe durch 3 teilbar ist?

Um zu untersuchen, ob sich aus vier natürlichen Zahlen stets drei Zahlen auswählen lassen, deren Summe durch 3 teilbar ist, können wir die Zahlen modulo 3 betrachten. Jede natürliche Zahl kann den Rest 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Es gibt also drei mögliche Reste: - Rest 0 (nennen wir diese Zahlen \(a\)) - Rest 1 (nennen wir diese Zahlen \(b\)) - Rest 2 (nennen wir diese Zahlen \(c\)) Wenn wir vier natürliche Zahlen haben, können wir die Anzahl der Zahlen in jeder Kategorie (Rest 0, Rest 1, Rest 2) zählen. Es gibt einige Fälle, die wir betrachten müssen: 1. **Fall 1:** Es gibt mindestens drei Zahlen mit dem gleichen Rest. - Wenn alle drei Zahlen den gleichen Rest haben (z.B. drei Zahlen mit Rest 0), dann ist ihre Summe durch 3 teilbar. 2. **Fall 2:** Es gibt zwei Zahlen mit einem Rest und zwei mit einem anderen Rest. - Wenn wir zum Beispiel zwei Zahlen mit Rest 1 und zwei mit Rest 2 haben, können wir eine Zahl mit Rest 1 und zwei Zahlen mit Rest 2 auswählen. Die Summe wäre \(1 + 2 + 2 = 5\), was nicht durch 3 teilbar ist. In diesem Fall können wir jedoch auch zwei Zahlen mit Rest 1 und eine mit Rest 2 wählen, was \(1 + 1 + 2 = 4\) ergibt, und das ist ebenfalls nicht durch 3 teilbar. 3. **Fall 3:** Es gibt eine Zahl mit jedem Rest (0, 1 und 2) und eine zusätzliche Zahl. - In diesem Fall können wir immer eine Kombination finden, die die Summe durch 3 teilbar macht, indem wir eine Zahl mit Rest 0 und zwei Zahlen mit Rest 1 oder 2 wählen. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es nicht immer möglich ist, aus vier natürlichen Zahlen drei auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Ein Beispiel, das dies zeigt, ist die Auswahl der Zahlen 1, 1, 2 und 2. Hier können keine drei Zahlen ausgewählt werden, deren Summe durch 3 teilbar ist.