Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Können aus fünf natürlichen Zahlen stets drei ausgewählt werden, deren Summe durch 3 teilbar ist?
Antwort vomJa, aus fünf natürlichen Zahlen lassen sich stets drei Zahlen auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist. Dies folgt aus dem sogenannten "Satz von Dirichlet" oder dem "Pigeonhole-Prinzip". Wenn du fünf natürliche Zahlen betrachtest, können diese Zahlen in drei Klassen eingeteilt werden, je nachdem, welchen Rest sie bei der Division durch 3 ergeben: Rest 0, Rest 1 und Rest 2. Da es nur drei mögliche Reste gibt und du fünf Zahlen hast, müssen mindestens zwei dieser Zahlen den gleichen Rest haben (nach dem Pigeonhole-Prinzip). Es gibt nun zwei Fälle: 1. Wenn mindestens drei Zahlen den gleichen Rest haben, dann ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar. 2. Wenn zwei Zahlen den gleichen Rest haben und die dritte Zahl einen anderen Rest hat, dann kann man die Kombinationen dieser Zahlen so wählen, dass die Summe ebenfalls durch 3 teilbar ist. Somit ist es immer möglich, aus fünf natürlichen Zahlen drei auszuwählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.
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