Zeige, dass man aus fünf natürlichen Zahlen stets drei auswählen kann, deren Summe dudi teilbar ist.

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Um zu zeigen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei Zahlen ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist, können wir den Satz von Dirichlet (auch bekannt als das Schubfachprinzip) verwenden. 1. **Restklassen modulo 3**: Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 3 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1 und 2. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl in eine der drei Klassen fällt: - Klasse 0: Zahlen, die durch 3 teilbar sind. - Klasse 1: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 haben. - Klasse 2: Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 haben. 2. **Anwendung des Schubfachprinzips**: Wenn wir fünf natürliche Zahlen haben, dann müssen diese Zahlen in eine der drei Klassen (Restklassen) eingeordnet werden. Da es nur drei Klassen gibt und wir fünf Zahlen haben, müssen mindestens zwei dieser Zahlen in einer der Klassen liegen. 3. **Fallunterscheidung**: - **Fall 1**: Es gibt mindestens drei Zahlen in einer Klasse (z.B. Klasse 0). Dann ist die Summe dieser drei Zahlen durch 3 teilbar. - **Fall 2**: Es gibt zwei Zahlen in einer Klasse (z.B. Klasse 1) und mindestens eine Zahl in einer anderen Klasse (z.B. Klasse 2). Die Summe der zwei Zahlen aus Klasse 1 und einer Zahl aus Klasse 2 ist ebenfalls durch 3 teilbar, da (1 + 1 + 2) mod 3 = 0. - **Fall 3**: Es gibt zwei Zahlen in Klasse 2 und mindestens eine Zahl in Klasse 1. Die Argumentation ist analog zu Fall 2. In jedem Fall können wir also immer drei Zahlen finden, deren Summe durch 3 teilbar ist. Damit ist bewiesen, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets drei ausgewählt werden können, deren Summe durch 3 teilbar ist.

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