Distributivgesetz der Mengenlehre

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Distributivgesetz der Mengenlehre

Antwort

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Wie viele antisymmetrische Relationen gibt es auf 5 Elementen?

Accepted Answer

Das Distributivgesetz in der Mengenlehre beschreibt, wie Mengenoperationen miteinander kombiniert werden können. Es gibt zwei Hauptformen des Distributivgesetzes: 1. **Distributivgesetz der Vereinigung über den Durchschnitt**: \[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \] Das bedeutet, dass der Durchschnitt einer Menge \(A\) mit der Vereinigung der Mengen \(B\) und \(C\) gleich der Vereinigung der Durchschnitte von \(A\) mit \(B\) und \(A\) mit \(C\) ist. 2. **Distributivgesetz der Durchschnitt über die Vereinigung**: \[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \] Hierbei gilt, dass die Vereinigung einer Menge \(A\) mit dem Durchschnitt der Mengen \(B\) und \(C\) gleich dem Durchschnitt der Vereinigungen von \(A\) mit \(B\) und \(A\) mit \(C\) ist. Diese Gesetze sind nützlich, um komplexe Mengenoperationen zu vereinfachen und zu analysieren.

Accepted Answer

Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen zu bestimmen, betrachten wir eine Menge \( A \) mit 5 Elementen, z.B. \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Eine Relation \( R \)... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen zu bestimmen, betrachten wir eine Menge \( A \) mit 5 Elementen, z.B. \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Eine Relation \( R \) auf \( A \) ist antisymmetrisch, wenn für alle \( a, b \in A \) gilt: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), dann muss \( a = b \) sein. Das bedeutet, dass es keine zwei verschiedenen Elemente \( a \) und \( b \) geben kann, für die sowohl \( (a, b) \) als auch \( (b, a) \) in der Relation enthalten sind. Für eine Menge mit \( n \) Elementen gibt es insgesamt \( n^2 \) mögliche Paare \( (a, b) \). In unserem Fall mit \( n = 5 \) haben wir also 25 mögliche Paare. Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen zu zählen, betrachten wir die folgenden Fälle: 1. **Paare der Form \( (a, a) \)**: Diese Paare können unabhängig gewählt werden. Es gibt 5 solcher Paare (eigenen Elemente), und jedes kann entweder in der Relation sein oder nicht. Das ergibt \( 2^5 = 32 \) Möglichkeiten. 2. **Paare der Form \( (a, b) \) mit \( a \neq b \)**: Für jedes Paar \( (a, b) \) mit \( a \neq b \) kann man entscheiden, ob nur \( (a, b) \) in der Relation ist, nur \( (b, a) \) in der Relation ist oder keines von beiden. Es gibt \( \binom{5}{2} = 10 \) solche Paare, und für jedes Paar gibt es 3 Möglichkeiten (nur \( (a, b) \), nur \( (b, a) \) oder keines). Das ergibt \( 3^{10} \) Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl der antisymmetrischen Relationen ist somit: \[ 2^5 \cdot 3^{10} = 32 \cdot 59049 = 1889568 \] Die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen beträgt also 1.889.568.