Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Popula...
Wie löse ich die Differentialgleichung y''' + 2y'' + y' = 0?
Antwort vomUm die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) zu lösen, kannst du die charakteristische Gleichung verwenden. Hier sind die Schritte: 1. **Aufstellen der charakteristischen Gleichung:** Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung \( y''' + 2y'' + y' = 0 \) lautet: \[ r^3 + 2r^2 + r = 0 \] 2. **Faktorisieren der charakteristischen Gleichung:** \[ r(r^2 + 2r + 1) = 0 \] Dies kann weiter vereinfacht werden zu: \[ r(r + 1)^2 = 0 \] 3. **Lösen der charakteristischen Gleichung:** Die Lösungen der Gleichung sind: \[ r = 0 \quad \text{und} \quad r = -1 \quad (\text{doppelte Wurzel}) \] 4. **Allgemeine Lösung der Differentialgleichung:** Da \( r = 0 \) eine einfache Wurzel und \( r = -1 \) eine doppelte Wurzel ist, lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: \[ y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 t e^{-t} \] Hier sind \( C_1 \), \( C_2 \) und \( C_3 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Das ist die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung.
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