Zeigen, dass D nicht auf der Ebene durch A, B und C liegt?

Um zu zeigen, dass der Punkt D nicht auf der Ebene durch die Punkte A, B und C liegt, kann man die Ebenengleichung durch die Punkte A, B und C aufstellen und dann überprüfen, ob der Punkt D diese Gleichung erfüllt. 1. **Bestimme die Ebenengleichung durch die Punkte A, B und C:** Zuerst berechnen wir zwei Richtungsvektoren der Ebene: \[ \vec{AB} = B - A = (2-1, 0-1, 13-18) = (1, -1, -5) \] \[ \vec{AC} = C - A = (31, 2-1,5-18) = (2, 1, -13) \] Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\): \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -13 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n} = \vec{i}((-1) \cdot (-13) - (-5) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-13) - (-5) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) \] \[ \vec{n} = \vec{i}(13 + 5) - \vec{j}(-13 + 10) + \vec{k}(1 + 2) \] \[ \vec{n} = \vec{i}(18) - \vec{j}3) + \vec{k}(3) \] \ \vec{n} = (18, 3, 3) \] 2. **Ebenengleichung aufstellen:** Die Ebenengleichung hat die Form: \[ 18(x - 1) + 3(y - 1) + 3(z - 18) = 0 \] \[ 18x - 18 + 3y - 3 + 3z - 54 = 0 \] \[ 18x + 3y + 3z - 75 = 0 \] \[ 6x + y + z = 25 \] 3. **Überprüfen, ob der Punkt D(1|0|1) die Ebenengleichung erfüllt:** Setze die Koordinaten von D in die Ebenengleichung ein: \[ 6(1) + 0 + 1 = 6 + 1 = 7 \] Da \(7 \neq 25\), liegt der Punkt D nicht auf der Ebene. Damit ist gezeigt, dass der Punkt D nicht auf der Ebene durch die Punkte A, B und C liegt.