Wie funktionieren Bruchgleichungen mit Definitionsmenge und Lösungsmenge?

Bruchgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable im Nenner eines Bruchs steht. Beim Lösen solcher Gleichungen sind zwei Mengen wichtig: die **Definitionsmenge** und die **Lösungsmenge**. **1. Definitionsmenge (D):** Die Definitionsmenge umfasst alle Werte, die für die Variable eingesetzt werden dürfen, ohne dass ein Nenner null wird (da Division durch null nicht definiert ist). **Vorgehen:** - Setze jeden Nenner gleich null und löse nach der Variablen auf. - Die gefundenen Werte sind **verboten** (sie dürfen nicht eingesetzt werden). - Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen **ohne** diese verbotenen Werte. **Beispiel:** \[ \frac{1}{x-2} = 3 \] Nenner: \(x-2\). Setze \(x-2=0\) ⇒ \(x=2\) ist verboten. Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) --- **2. Gleichung lösen:** - Löse die Bruchgleichung wie gewohnt (z.B. durch Multiplikation mit dem Hauptnenner). - Achte darauf, dass du nur Werte aus der Definitionsmenge verwendest. **Beispiel fortgesetzt:** \[ \frac{1}{x-2} = 3 \] Beide Seiten mit \(x-2\) multiplizieren (für \(x \neq 2\)): \[ 1 = 3(x-2) \] \[ 1 = 3x - 6 \] \[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \] --- **3. Lösungsmenge (L):** Die Lösungsmenge enthält alle Lösungen, die **in der Definitionsmenge liegen**. Im Beispiel: \(x = \frac{7}{3}\) ist erlaubt (liegt in D), also \[ L = \left\{ \frac{7}{3} \right\} \] --- **Zusammenfassung:** - **Definitionsmenge:** Alle Werte, für die die Gleichung überhaupt definiert ist (Nenner ≠ 0). - **Lösungsmenge:** Alle Lösungen der Gleichung, die in der Definitionsmenge liegen. **Tipp:** Immer zuerst die Definitionsmenge bestimmen, dann die Gleichung lösen und am Ende prüfen, ob die Lösung(en) in der Definitionsmenge liegen.