Wie funktionieren Bruchgleichungen mit Definitionsmenge und Lösungsmenge?

Bruchgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable im Nenner eines Bruchs steht. Beim Lösen solcher Gleichungen sind zwei Mengen wichtig: die **Definitionsmenge** und die **Lösungsmenge**.

**1. Definitionsmenge (D):**
Die Definitionsmenge umfasst alle Werte, die für die Variable eingesetzt werden dürfen, ohne dass ein Nenner null wird (da Division durch null nicht definiert ist).

**Vorgehen:**
- Setze jeden Nenner gleich null und löse nach der Variablen auf.
- Die gefundenen Werte sind **verboten** (sie dürfen nicht eingesetzt werden).
- Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen **ohne** diese verbotenen Werte.

**Beispiel:**
\[
\frac{1}{x-2} = 3
\]
Nenner: \(x-2\). Setze \(x-2=0\) ⇒ \(x=2\) ist verboten.
Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)

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**2. Gleichung lösen:**
- Löse die Bruchgleichung wie gewohnt (z.B. durch Multiplikation mit dem Hauptnenner).
- Achte darauf, dass du nur Werte aus der Definitionsmenge verwendest.

**Beispiel fortgesetzt:**
\[
\frac{1}{x-2} = 3
\]
Beide Seiten mit \(x-2\) multiplizieren (für \(x \neq 2\)):
\[
1 = 3(x-2)
\]
\[
1 = 3x - 6
\]
\[
3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}
\]

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**3. Lösungsmenge (L):**
Die Lösungsmenge enthält alle Lösungen, die **in der Definitionsmenge liegen**.

Im Beispiel: \(x = \frac{7}{3}\) ist erlaubt (liegt in D), also
\[
L = \left\{ \frac{7}{3} \right\}
\]

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**Zusammenfassung:**
- **Definitionsmenge:** Alle Werte, für die die Gleichung überhaupt definiert ist (Nenner ≠ 0).
- **Lösungsmenge:** Alle Lösungen der Gleichung, die in der Definitionsmenge liegen.

**Tipp:** Immer zuerst die Definitionsmenge bestimmen, dann die Gleichung lösen und am Ende prüfen, ob die Lösung(en) in der Definitionsmenge liegen.