Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]
Bis wann fällt x² + 1 monoton?
AntwortDie Funktion \( f(x) = x^2 + 1 \) ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist. Um zu bestimmen, in welchem Intervall die Funktion monoton ist, betrachten wir die Ableitung \( f'(x) \). Die Ableitung ist: \[ f'(x) = 2x \] Die Funktion ist monoton steigend, wenn die Ableitung positiv ist, und monoton fallend, wenn die Ableitung negativ ist. 1. **Monoton fallend:** \( f'(x) < 0 \) \[ 2x < 0 \implies x < 0 \] 2. **Monoton steigend:** \( f'(x) > 0 \) \[ 2x > 0 \implies x > 0 \] Die Funktion \( f(x) = x^2 + 1 \) ist also monoton fallend für \( x < 0 \) und monoton steigend für \( x > 0 \). An der Stelle \( x = 0 \) hat die Funktion ein Minimum. Zusammenfassend fällt die Funktion \( x^2 + 1 \) monoton für \( x < 0 \).
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