Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Seien M, N zwei Mengen und f: M → N eine Funktion. Beweisen oder widerlegen Sie: Für M1, M2 ⊂ M gilt f(M1 ∩ M2) = f(M1) ∩ f(M2).
Antwort vomDie Aussage ist im Allgemeinen nicht wahr. Um dies zu zeigen, betrachten wir ein Beispiel. Seien \( M = \{1, 2\} \) und \( N = \{a, b\} \). Definiere die Funktion \( f: M \to N \) wie folgt: - \( f(1) = a \) - \( f(2) = a \) Nun wählen wir zwei Teilmengen \( M_1 = \{1\} \) und \( M_2 = \{2\} \). Dann ist der Schnitt der beiden Mengen: \[ M_1 \cap M_2 = \{1\} \cap \{2\} = \emptyset \] Jetzt berechnen wir die Bilder der Mengen unter \( f \): \[ f(M_1) = f(\{1\}) = \{f(1)\} = \{a\} \] \[ f(M_2) = f(\{2\}) = \{f(2)\} = \{a\} \] Der Schnitt der Bilder ist: \[ f(M_1) \cap f(M_2) = \{a\} \cap \{a\} = \{a\} \] Nun vergleichen wir die beiden Ergebnisse: \[ f(M_1 \cap M_2) = f(\emptyset) = \emptyset \] \[ f(M_1) \cap f(M_2) = \{a\} \] Da \( \emptyset \neq \{a\} \), ist die Gleichung \( f(M_1 \cap M_2) = f(M_1) \cap f(M_2) \) nicht erfüllt. Somit ist die Aussage widerlegt.
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