Beweise, dass man aus 5 Zahlen stets 2 auswählen kann, die durch 4 teilbar sind.

Um zu beweisen, dass aus fünf Zahlen stets zwei Zahlen ausgewählt werden können, die durch 4 teilbar sind, nutzen wir den Satz der Schubfachprinzip (Pigeonhole Principle). Jede ganze Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 4 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1, 2 und 3. Das bedeutet, dass jede Zahl in eine der vier Kategorien (Restklassen) fällt: 1. Rest 0 (durch 4 teilbar) 2. Rest 1 3. Rest 2 4. Rest 3 Wenn wir nun fünf Zahlen betrachten, gibt es nur vier mögliche Restklassen. Nach dem Schubfachprinzip muss mindestens eine dieser Restklassen mindestens zweimal vorkommen, wenn wir fünf Zahlen haben. Das bedeutet, dass mindestens zwei der fünf Zahlen denselben Rest haben, wenn sie durch 4 geteilt werden. Wenn diese beiden Zahlen den Rest 0 haben, sind sie beide durch 4 teilbar. Wenn sie einen anderen Rest haben (1, 2 oder 3), können wir nicht direkt sagen, dass sie durch 4 teilbar sind. Aber da wir nur vier Restklassen haben und fünf Zahlen, müssen wir mindestens zwei Zahlen haben, die den gleichen Rest haben. Zusammenfassend lässt sich sagen: Aus fünf Zahlen lassen sich immer zwei auswählen, die denselben Rest haben, wenn sie durch 4 geteilt werden. Wenn diese beiden Zahlen den Rest 0 haben, sind sie durch 4 teilbar. Daher ist die Aussage bewiesen.