Wie berechnet man die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung oder Variabilität einer Datenreihe. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Berechnung der Standardabweichung für eine Stichprobe: 1. **Berechne den Mittelwert (Durchschnitt) der Datenreihe:** \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \] wobei \( n \) die Anzahl der Datenpunkte und \( x_i \) die einzelnen Datenpunkte sind. 2. **Berechne die Abweichungen jedes Datenpunkts vom Mittelwert und quadriere diese Abweichungen:** \[ (x_i - \bar{x})^2 \] 3. **Summiere die quadrierten Abweichungen:** \[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \] 4. **Teile die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Datenpunkte minus eins (für eine Stichprobe):** \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \] Dies ist die Varianz der Stichprobe. 5. **Ziehe die Quadratwurzel aus der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten:** \[ s = \sqrt{s^2} \] Für eine Population (statt einer Stichprobe) wird im vierten Schritt durch \( n \) statt \( n-1 \) geteilt. Beispiel: Angenommen, die Datenreihe ist [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]. 1. Mittelwert: \[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5 \] 2. Abweichungen quadrieren: \[ (2-5)^2, (4-5)^2, (4-5)^2, (4-5)^2, (5-5)^2, (5-5)^2, (7-5)^2, (9-5)^2 \] \[ 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 \] 3. Summe der quadrierten Abweichungen: \[ 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 \] 4. Varianz: \[ s^2 = \frac{32}{8-1} = \frac{32}{7} \approx 4.57 \] 5. Standardabweichung: \[ s = \sqrt{4.57} \approx 2.14 \] Die Standardabweichung der Datenreihe ist also ungefähr 2.14.