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Berechne den Ausdruck: sum k = 1 to 2023 (k + 1) ^ 2 - 2 * sum k = 1 to 202k (k - 2).
Antwort vomUm den gegebenen Ausdruck zu berechnen, zerlegen wir ihn in zwei Teile und verwenden die Summenformeln. 1. **Erster Teil: \( \sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2 \)** Die Formel für die Summe der Quadrate lautet: \[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \] Für \( (k + 1)^2 \) können wir umschreiben: \[ (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 \] Daher gilt: \[ \sum_{k=1}^{n} (k + 1)^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \] Setzen wir \( n = 2023 \) ein: - \( \sum_{k=1}^{2023} k^2 = \frac{2023 \cdot 2024 \cdot 4047}{6} \) - \( \sum_{k=1}^{2023} k = \frac{2023 \cdot 2024}{2} \) - \( \sum_{k=1}^{2023} 1 = 2023 \) Damit ergibt sich: \[ \sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2 = \frac{2023 \cdot 2024 \cdot 4047}{6} + 2 \cdot \frac{2023 \cdot 2024}{2} + 2023 \] 2. **Zweiter Teil: \( -2 \sum_{k=1}^{2023} (k - 2) \)** Hier gilt: \[ \sum_{k=1}^{n} (k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2 = \sum_{k=1}^{n} k - 2n \] Setzen wir wieder \( n = 2023 \) ein: \[ \sum_{k=1}^{2023} (k - 2) = \frac{2023 \cdot 2024}{2} - 2 \cdot 2023 \] Damit ergibt sich: \[ -2 \sum_{k=1}^{2023} (k - 2) = -2 \left( \frac{2023 \cdot 2024}{2} - 2 \cdot 2023 \right) = -2023 \cdot 2024 + 4 \cdot 2023 \] 3. **Zusammenführen der Ergebnisse:** Der gesamte Ausdruck wird dann: \[ \sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2 - 2 \sum_{k=1}^{2023} (k - 2) \] Setze die beiden Teile zusammen und berechne den Wert. Die genaue Berechnung der Werte kann je nach Bedarf durchgeführt werden, aber die Struktur der Berechnung ist hiermit klar.
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