Bestimme die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichung X² + Y² + Z² = 9.

Um die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(X^2 + Y^2 + Z^2 = 9\) zu bestimmen, betrachten wir die möglichen Werte für \(X\), \(Y\) und \(Z\). Die Werte von \(X\), \(Y\) und \(Z\) können die folgenden ganzzahligen Werte annehmen, da \(X^2\), \(Y^2\) und \(Z^2\) jeweils nicht negativ sind und die Summe 9 ergeben muss: - \(X^2\) kann 0, 1, 4 oder 9 annehmen, was den Werten \(X = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) entspricht. - Entsprechend gilt das Gleiche für \(Y\) und \(Z\). Nun untersuchen wir die möglichen Kombinationen: 1. **\(X^2 = 9\)**: - \(Y^2 + Z^2 = 0\) → \(Y = 0\), \(Z = 0\) - Lösungen: \((3, 0, 0)\), \((-3, 0, 0)\) → 2 Lösungen. 2. **\(X^2 = 4\)**: - \(Y^2 + Z^2 = 5\) - Mögliche Paare \((Y, Z)\): \((1, 2)\), \((2, 1)\), \((-1, 2)\), \((-2, 1)\), \((1, -2)\), \((2, -1)\), \((-1, -2)\), \((-2, -1)\) und die Permutationen. - Lösungen: \((2, 1, 2)\), \((2, 2, 1)\), \((2, -1, 2)\), \((-2, 1, 2)\), \((-2, -1, 2)\), \((1, 2, 2)\), \((1, -2, 2)\) und deren Permutationen → 12 Lösungen. 3. **\(X^2 = 1\)**: - \(Y^2 + Z^2 = 8\) - Mögliche Paare \((Y, Z)\): \((2, 2)\), \((2, -2)\), \((-2, 2)\), \((-2, -2)\ und deren Permutationen. - Lösungen: \((1, 2, 2)\), \((1, -2, 2)\), \((-1, 2, 2)\), \((-1, -2, 2)\) und deren Permutationen → 12 Lösungen. 4. **\(X^2 = 0\)**: - \(Y^2 + Z^2 = 9\) - Mögliche Paare \((Y, Z)\): \((3, 0)\), \((0, 3)\), \((0, -3)\), \((-3, 0)\) und deren Permutationen. - Lösungen: \((0, 3, 0)\), \((0, -3, 0)\), \((3, 0, 0)\), \((-3, 0, 0)\) und deren Permutationen → 6 Lösungen. Die Gesamtanzahl der Lösungen ergibt sich aus der Summe der Lösungen aus den verschiedenen Fällen: - \(2\) (für \(X^2 = 9\)) - \(12\) (für \(X^2 = 4\)) - \(12\) (für \(X^2 = 1\)) - \(6\) (für \(X^2 = 0\)) Insgesamt gibt es also \(2 + 12 + 12 + 6 = 32\) ganzzahlige Lösungen für die Gleichung \(X^2 + Y^2 + Z^2 = 9\).