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Wie lautet die Ableitung von f(x)=3/4xe^(1-1/4x)?
Antwort vomUm die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{3}{4}x e^{1 - \frac{1}{4}x} \) zu berechnen, wird die Produktregel und die Kettenregel angewendet. Die Produktregel besagt, die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \) gegeben ist durch: \[ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Hier ist \( u(x) = \frac{3}{4}x \) und \( v(x) = e^{1 - \frac{1}{4}x} \). 1. Berechne die Ableitung von \( u(x) \): \[ u(x) = \frac{3}{4}x \] \[ u'(x) = \frac{3}{4} \] 2. Berechne die Ableitung von \( v(x) \) unter Anwendung der Kettenregel: \[ v(x) = e^{1 - \frac{1}{4}x} \] Setze \( g(x) = 1 - \frac{1}{4}x \), dann ist \( v(x) = e^{g(x)} \). Die Ableitung von \( e^{g(x)} \) ist \( e^{g(x)} \cdot g'(x) \): \[ g(x) = 1 - \frac{1}{4}x \] \[ g'(x) = -\frac{1}{4} \] Also: \[ v'(x) = e^{1 - \frac{1}{4}x} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4} e^{1 - \frac{1}{4}x} \] 3. Setze die Ergebnisse in die Produktregel ein: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] \[ f'(x) = \left(\frac{3}{4}\right) e^{1 - \frac{1}{4}x} + \left(\frac{3}{4}x\right) \left(-\frac{1}{4} e^{1 - \frac{1}{4}x}\right) \] \[ f'(x) = \frac{3}{4} e^{1 - \frac{1}{4}x} - \frac{3}{16}x e^{1 - \frac{1}{4}x} \] Fasse die Terme zusammen: \[ f'(x) = e^{1 - \frac{1}{4}x} \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{16}x\right) \] \[ f'(x) = e^{1 - \frac{1}{4}x} \left(\frac{12}{16} - \frac{3}{16}x\right) \] \[ f'(x) = e^{1 - \frac{1}{4}x} \left(\frac{12 - 3x}{16}\right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{16} e^{1 - \frac{1}{4}x} (12 - 3x) \] Das ist die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{3}{4}x e^{1 - \frac{1}{4}x} \).
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