Ist die Formel (A⟹B)∨(A∧¬B) erfüllbar, widerlegbar oder nicht erfüllbar?

Question

Ist die Formel (A⟹B)∨(A∧¬B) erfüllbar, widerlegbar oder nicht erfüllbar?

Antwort

Verwandte Fragen

Ist die Formel (A⟹B)∧¬(B⟹A) wiederlegbar, erfüllbar, nicht wiederlegbar oder erfüllbar?

Sind für die Formel (A ∧ B) → ¬B Wertebelegungen möglich?

Accepted Answer

Um die Formel \((A \Rightarrow B) \lor (A \land \neg B)\) zu analysieren, schauen wir uns die einzelnen Teile an: 1. **\(A \Rightarrow B\)** ist nur dann falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. 2. **\(A \land \neg B\)** ist wahr, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. Nun betrachten wir die gesamte Formel: - Wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist, dann ist \(A \Rightarrow B\) falsch und \(A \land \neg B\) wahr. In diesem Fall ist die gesamte Formel wahr. - Wenn \(A\) wahr und \(B\) wahr ist, dann ist \(A \Rightarrow B\) wahr und \(A \land \neg B\) falsch. Die gesamte Formel ist also auch wahr. - Wenn \(A\) falsch, ist \(A \Rightarrow B\) immer wahr, unabhängig von \(B\), und \(A \land \neg B\) ist falsch. Die gesamte Formel ist also auch wahr. Die Formel ist also in allen möglichen Fällen erfüllbar, da es immer eine Kombination von Wahrheitswerten gibt, die die Formel wahr macht. Zusammenfassend ist die Formel **erfüllbar**.

Accepted Answer

Um die Formel \((A \Rightarrow B) \land \neg(B \Right A)\) zu analysieren, betrachten wir die einzelnen Teile: 1. \(A \Rightarrow B\) ist nur falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. 2. \(B \Rig... [mehr]

Accepted Answer

Um die Formel \((A \Rightarrow B) \land \neg(B \Right A)\) zu analysieren, betrachten wir die einzelnen Teile: 1. \(A \Rightarrow B\) ist nur falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. 2. \(B \Rightarrow A\) ist nur falsch, wenn \(B\) wahr und \(A\) falsch ist. Die Negation \(\neg(B \Rightarrow A)\) ist also wahr, wenn \(B\) wahr und \(A\) falsch ist. Jetzt kombinieren wir die beiden Teile: - Die Formel ist nur dann wahr, wenn \(A \Rightarrow B\) wahr ist und \(\neg(B \Rightarrow A)\) wahr ist. - Das bedeutet, dass \(A\) wahr und \(B\) falsch sein muss, um \(A \Rightarrow B\) zu erfüllen, und gleichzeitig muss \(B\) wahr und \(A\) falsch sein, um \(\neg(B \Rightarrow A)\) zu erfüllen. Es gibt also keine Kombination von Wahrheitswerten für \(A\) und \(B\), die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt. Daher ist die Formel nicht erfüllbar. Zusammenfassend ist die Formel \((A \Rightarrow B) \land \neg(B \Rightarrow A)\) nicht erfüllbar.

Accepted Answer

Um zu untersuchen, ob es eine Wertbelegung für die Formel \((A \land B) \rightarrow \neg B\) gibt, kann eine Wahrheitstafel erstellt werden. Hier sind die Schritte: 1. **Erstelle die Wahrheitsta... [mehr]

Accepted Answer

Um zu untersuchen, ob es eine Wertbelegung für die Formel \((A \land B) \rightarrow \neg B\) gibt, kann eine Wahrheitstafel erstellt werden. Hier sind die Schritte: 1. **Erstelle die Wahrheitstafel**: Liste alle möglichen Wahrheitswerte für \(A\) und \(B\). 2. **Berechne die Werte für \(A \land B\)**. 3. **Berechne die Werte für \(\neg B\)**. 4. **Berechne die Werte für \((A \land B) \rightarrow \neg B\)**. Hier ist die vollständige Wahrheitstafel: | \(A\) | \(B\) | \(A \land B\) | \(\neg B\) | \((A \land B) \rightarrow \neg B\) | |------|------|---------------|-----------|------------------------------------| | W | W | W | F | F | | W | F | F | W | W | | F | W | F | F | W | | F | F | F | W | W | **Erklärung der Spalten:** - \(A\) und \(B\) sind die möglichen Wahrheitswerte (W = wahr, F = falsch). - \(A \land B\) ist wahr, wenn sowohl \(A\) als auch \(B\) wahr sind. - \(\neg B\) ist die Negation von \(B\). - \((A \land B) \rightarrow \neg B\) ist eine Implikation, die nur falsch ist, wenn der linke Teil (Antezedens) wahr und der rechte Teil (Konsequenz) falsch ist. **Analyse der Wahrheitstafel:** - Die Formel \((A \land B) \rightarrow \neg B\) ist nur in der ersten Zeile falsch, wenn \(A\) und \(B\) beide wahr sind. - In allen anderen Fällen ist die Formel wahr. **Schlussfolgerung:** Es gibt Wertbelegungen (nämlich \(A = W\) und \(B = W\)), bei denen die Formel \((A \land B) \rightarrow \neg B\) falsch ist. Daher ist die Formel nicht allgemein gültig.