3 Fragen zu Erfuellbar

Um die Formel \((A \Rightarrow B) \lor (A \land \neg B)\) zu analysieren, schauen wir uns die einzelnen Teile an: 1. **\(A \Rightarrow B\)** ist nur dann falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. 2. **\(A \land \neg B\)** ist wahr, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. Nun betrachten wir die gesamte Formel: - Wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist, dann ist \(A \Rightarrow B\) falsch und \(A \land \neg B\) wahr. In diesem Fall ist die gesamte Formel wahr. - Wenn \(A\) wahr und \(B\) wahr ist, dann ist \(A \Rightarrow B\) wahr und \(A \land \neg B\) falsch. Die gesamte Formel ist also auch wahr. - Wenn \(A\) falsch, ist \(A \Rightarrow B\) immer wahr, unabhängig von \(B\), und \(A \land \neg B\) ist falsch. Die gesamte Formel ist also auch wahr. Die Formel ist also in allen möglichen Fällen erfüllbar, da es immer eine Kombination von Wahrheitswerten gibt, die die Formel wahr macht. Zusammenfassend ist die Formel **erfüllbar**.

Um die Formel \((A \Rightarrow B) \land \neg(B \Rightarrow A)\) zu analysieren, betrachten wir die einzelnen Teile: 1. **\(A \Rightarrow B\)** ist wahr, wenn entweder \(A\) falsch ist oder \(B\) wahr ist. 2. **\(B \Rightarrow A\)** ist wahr, wenn entweder \(B\) falsch ist oder \(A\) wahr ist. Daher ist \(\neg(B \Rightarrow A)\) wahr, wenn \(B\) wahr und \(A\) falsch ist. Die gesamte Formel ist also nur dann wahr, wenn \(A\) falsch und \(B\) wahr ist. Um die Erfüllbarkeit zu prüfen: - Setze \(A = F\) (falsch) und \(B = W\) (wahr): - \(A \Rightarrow B\) wird wahr, weil \(F \Rightarrow W\) wahr ist. - \(\neg(B \Rightarrow A)\) wird wahr, weil \(W \Rightarrow F\) falsch ist, also ist \(\neg(W \Rightarrow F)\) wahr. Da es eine Belegung gibt, die die Formel erfüllt (\(A = F\) und \(B = W\)), ist die Formel erfüllbar. Zusammenfassend ist die Formel **erfüllbar**.

Um die Formel \((A \Rightarrow B) \land \neg(B \Right A)\) zu analysieren, betrachten wir die einzelnen Teile: 1. \(A \Rightarrow B\) ist nur falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. 2. \(B \Rightarrow A\) ist nur falsch, wenn \(B\) wahr und \(A\) falsch ist. Die Negation \(\neg(B \Rightarrow A)\) ist also wahr, wenn \(B\) wahr und \(A\) falsch ist. Jetzt kombinieren wir die beiden Teile: - Die Formel ist nur dann wahr, wenn \(A \Rightarrow B\) wahr ist und \(\neg(B \Rightarrow A)\) wahr ist. - Das bedeutet, dass \(A\) wahr und \(B\) falsch sein muss, um \(A \Rightarrow B\) zu erfüllen, und gleichzeitig muss \(B\) wahr und \(A\) falsch sein, um \(\neg(B \Rightarrow A)\) zu erfüllen. Es gibt also keine Kombination von Wahrheitswerten für \(A\) und \(B\), die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt. Daher ist die Formel nicht erfüllbar. Zusammenfassend ist die Formel \((A \Rightarrow B) \land \neg(B \Rightarrow A)\) nicht erfüllbar.