Ist ein Dreieck mit A=4cm, b=3cm und ß=110 Grad konstruierbar?

Um zu überprüfen, ob ein Dreieck mit den gegebenen Werten konstruiert werden kann, verwenden wir die Informationen über die Seitenlängen und den eingeschlossenen Winkel.

Gegeben sind:
- Seite \( a = 4 \, \text{cm} \)
- Seite \( b = 3 \, \text{cm} \)
- Winkel \( \beta = 110^\circ \)

Um zu prüfen, ob das Dreieck konstruiert werden kann, können wir das Gesetz der Cosinus anwenden. Dieses Gesetz lautet:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\beta)
\]

Hierbei ist \( c \) die Seite gegenüber dem Winkel \( \beta \). Wir setzen die Werte ein:

\[
c^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(110^\circ)
\]

Zuerst berechnen wir die einzelnen Teile:

\[
4^2 = 16
\]
\[
3^2 = 9
\]
\[
2 \cdot 4 \cdot 3 = 24
\]
\[
\cos(110^\circ) \approx -0.342
\]

Setzen wir das in die Gleichung ein:

\[
c^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-0.342)
\]
\[
c^2 = 25 + 8.208 \approx 33.208
\]
\[
c \approx \sqrt{33.208} \approx 5.77 \, \text{cm}
\]

Da \( c \) einen positiven Wert hat, ist es möglich, ein Dreieck mit den gegebenen Seitenlängen und dem Winkel zu konstruieren.

Zusammenfassend: Ja, das Dreieck mit den Seitenlängen \( a = 4 \, \text{cm} \), \( b = 3 \, \text{cm} \) und dem Winkel \( \beta = 110^\circ \) ist konstruierbar.