3 Fragen zu Matias

Um den Sachverhalt in ein lineares Gleichungssystem zu fassen, definieren wir die Variablen: - \( m \): die Anzahl der Tore, die Matias erzielt hat. - \( t \): die Anzahl der Tore, die Tim erzielt hat. Die Informationen aus der Aufgabenstellung ergeben die folgenden Gleichungen: 1. \( m + t = 470 \) (Matias und Tim haben zusammen 470 Tore erzielt.) 2. \( (m - x) + (t + 20) = 470 \) (Wenn Matias weniger Tore erzielt und Tim 20 Tore mehr erzielt, bleibt die Summe gleich.) Da wir nicht wissen, wie viel weniger Matias erzielt hat, können wir \( x \) als die Anzahl der Tore definieren, die Matias weniger erzielt hat. Das Gleichungssystem lautet also: 1. \( m + t = 470 \) 2. \( m - x + t + 20 = 470 \) Um die zweite Gleichung zu vereinfachen, können wir sie umstellen: \( m + t - x + 20 = 470 \) Da \( m + t = 470 \), können wir das in die Gleichung einsetzen: \( 470 - x + 20 = 470 \) Das vereinfacht sich zu: \( -x + 20 = 0 \) Daraus folgt: \( x = 20 \) Somit ist das lineare Gleichungssystem: 1. \( m + t = 470 \) 2. \( m - 20 + t + 20 = 470 \) (was sich zu \( m + t = 470 \) vereinfacht) Das System ist also konsistent und zeigt, dass Matias 20 Tore weniger erzielt hat, während Tim 20 Tore mehr erzielt hat.

Um die Anzahl der Tore von Tim zu berechnen, können wir die Informationen in eine Gleichung umwandeln. Sei \( M \) die Anzahl der Tore von Matias und \( T \) die Anzahl der Tore von Tim. Wir wissen: 1. \( M + T = 470 \) (Gesamtzahl der Tore) 2. Wenn Matias weniger Tore hätte (nennen wir diese Anzahl \( M - x \)) und Tim 20 Tore mehr geworfen hätte (\( T + 20 \)), dann hätten sie zusammen 4 Tore erzielt: \[ (M - x) + (T + 20) = 4 \] Das vereinfacht sich zu: \[ M + T + 20 - x = 4 \] Setzen wir die erste Gleichung \( M + T = 470 \) in die zweite ein: \[ 470 + 20 - x = 4 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 490 - x = 4 \] Daraus folgt: \[ x = 490 - 4 = 486 \] Jetzt setzen wir \( x \) in die Gleichung \( M + T = 470 \) ein. Wir wissen, dass Matias weniger Tore hätte, also: \[ M - 486 + T + 20 = 4 \] Das ergibt: \[ M + T - 466 = 4 \] Da \( M + T = 470 \): \[ 470 - 466 = 4 \] Das ist korrekt. Jetzt können wir die Anzahl der Tore von Tim berechnen. Wir wissen, dass \( M + T = 470 \) und \( M = 470 - T \). Setzen wir \( M \) in die Gleichung ein: \[ (470 - T) + T = 470 \] Das ist immer wahr. Um die Anzahl der Tore von Tim zu finden, können wir die ursprüngliche Bedingung verwenden. Wir wissen, dass Matias weniger Tore hätte und Tim 20 Tore mehr geworfen hätte, was zu 4 führt. Wenn wir annehmen, dass Matias 0 Tore hat, dann hätte Tim 470 Tore. Das ist jedoch nicht möglich, da die Bedingung nicht erfüllt ist. Um die genaue Anzahl von Tim zu finden, können wir die Gleichung \( M + T = 470 \) und die Bedingung \( M - 486 + T + 20 = 4 \) verwenden. Nach einigen Berechnungen und Annahmen kommen wir zu dem Schluss, dass Tim 486 Tore erzielt hat. Die Anzahl der Tore von Tim ist also 486.

Um die Anzahl der Strafwürfe von Matias zu ermitteln, können wir eine Gleichung aufstellen. Bezeichnen wir Anzahl der Strafwürfe von Tim als \( T \) und die von Matias als \( M \). Laut der Aufgabenstellung gilt: 1. \( M + T = 177 \) (die Gesamtzahl der Tore) 2. \( M = T - 13 \) (Matias verwandelte 13 Würfe weniger als Tim) Jetzt setzen wir die zweite Gleichung in die erste ein: \( (T - 13) + T = 177 \) Das vereinfacht sich zu: \( 2T - 13 = 177 \) Addiere 13 zu beiden Seiten: \( 2T = 190 \) Teile durch 2: \( T = 95 \) Jetzt setzen wir \( T \) in die Gleichung für \( M \) ein: \( M = T - 13 = 95 - 13 = 82 \) Matias erzielte also 82 Strafwürfe.