3 Fragen zu Linienlast

Um die Lagerkräfte für einen Balken mit einer quadratischen Linienlast zu berechnen, müssen wir zunächst die Gesamtlast und die Reaktionen an den Lagern bestimmen. 1. **Bestimmung der Gesamtlast**: Die quadratische Linienlast \( w(x) \) ist gegeben durch \( w(x) = 30 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2 \), wobei \( L = 3 \, \text{m} \) ist. Um die Gesamtlast \( F \) zu berechnen, integrieren wir die Linienlast über die Länge des Balkens: \[ F = \int_0^L w(x) \, dx = \int_0^3 30 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)^2 \, dx \] \[ = 30 \cdot \frac{1}{9} \int_0^3 x^2 \, dx = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{27}{3}\right] = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot 9 = 30 \, \text{N} \] 2. **Bestimmung des Schwerpunkts der Last**: Der Schwerpunkt \( x_{G} \) der quadratischen Last kann durch die Formel für den Schwerpunkt einer quadratischen Verteilung gefunden werden: \[ x_{G} = \frac{L}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \text{m} \] 3. **Berechnung der Lagerkräfte**: Da das linke Lager ein Festlager ist und das rechte Lager ein Loslager, können wir die Lagerkräfte \( R_A \) (links) und \( R_B \) (rechts) mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnen. - Summe der vertikalen Kräfte: \[ R_A + R_B = 30 \, \text{N} \] - Momentengleichgewicht um das linke Lager (A): \[ M_A = 0 = R_B \cdot 3 - 30 \cdot 1 \] \[ R_B \cdot 3 = 30 \implies R_B = 10 \, \text{N} \] Setze \( R_B \) in die Gleichung für die vertikalen Kräfte ein: \[ R_A + 10 = 30 \implies R_A = 20 \, \text{N} \] 4. **Ergebnisse**: - Die Lagerkraft am Festlager (links) \( R_A = 20 \, \text{N} \) nach oben. - Die Lagerkraft am Loslager (rechts) \( R_B = 10 \, \text{N} \) nach oben. Diese Werte geben die Lagerkräfte an, die auf den Balken wirken.

Um die Linienlast auf einen der Unterzüge zu ermitteln, müssen wir zunächst die Gesamtlast in kN umrechnen. Das Gesamtgewicht beträgt 4000 kg, was einer Kraft von: \[ F = m \cdot g = 4000 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 39240 \, \text{N} = 39,24 \, \text{kN} \] Die Gesamtlast verteilt sich auf die beiden Unterzüge. Angenommen, die Unterzüge sind gleichmäßig belastet, können wir die Linienlast berechnen, indem wir die Gesamtlast durch die gesamte Länge der beiden Unterzüge teilen. Die gesamte Länge der Unterzüge beträgt: \[ L = a + b = 2 \, \text{m} + 5 \, \text{m} = 7 \, \text{m} \] Die Linienlast \( q \) auf einen der Unterzüge (angenommen, gleichmäßig verteilt) ist dann: \[ q = \frac{F}{L} = \frac{39,24 \, \text{kN}}{7 \, \text{m}} \approx 5,61 \, \text{kN/m} \] Somit beträgt die Linienlast auf einen der Unterzüge etwa 5,61 kN/m.

Um die Linienlast auf einen der Unterzüge zu ermitteln, müssen wir zunächst die Gesamtlast in kN umrechnen. Das Gewicht von 6000 kg entspricht einer Kraft, die durch die Erdbeschleunigung (g ≈ 9,81 m/s²) berechnet wird: \[ F = m \cdot g = 6000 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 58860 \, \text{N} \approx 58,86 \, \text{kN} \] Die Gesamtlast von 58,86 kN verteilt sich auf die beiden Unterzüge. Um die Linienlast zu berechnen, müssen wir wissen, wie die Last auf die Unterzüge verteilt ist. Angenommen, die Last verteilt sich gleichmäßig auf die beiden Unterzüge, dann wird die Linienlast auf jeden Unterzug wie folgt berechnet: Die gesamte Länge der beiden Unterzüge beträgt: \[ L = a + b = 3 \, \text{m} + 6 \, \text{m} = 9 \, \text{m} \] Die Linienlast \( q \) auf einen der Unterzüge (angenommen, gleichmäßig verteilt) ist dann: \[ q = \frac{F}{L} = \frac{58,86 \, \text{kN}}{9 \, \text{m}} \approx 6,54 \, \text{kN/m} \] Somit beträgt die Linienlast, die auf einen der Unterzüge wirkt, etwa 6,54 kN/m.