Berechne Lagerkräfte eines 3m langen Balkens mit Festlager links und Loslager rechts unter einer quadratischen Linienlast von 30 N/m.

Um die Lagerkräfte für einen Balken mit einer quadratischen Linienlast zu berechnen, müssen wir zunächst die Gesamtlast und die Reaktionen an den Lagern bestimmen.

1. **Bestimmung der Gesamtlast**:
Die quadratische Linienlast \( w(x) \) ist gegeben durch \( w(x) = 30 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2 \), wobei \( L = 3 \, \text{m} \) ist.

Um die Gesamtlast \( F \) zu berechnen, integrieren wir die Linienlast über die Länge des Balkens:

\[
F = \int_0^L w(x) \, dx = \int_0^3 30 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)^2 \, dx
\]

\[
= 30 \cdot \frac{1}{9} \int_0^3 x^2 \, dx = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{27}{3}\right] = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot 9 = 30 \, \text{N}
\]

2. **Bestimmung des Schwerpunkts der Last**:
Der Schwerpunkt \( x_{G} \) der quadratischen Last kann durch die Formel für den Schwerpunkt einer quadratischen Verteilung gefunden werden:

\[
x_{G} = \frac{L}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \text{m}
\]

3. **Berechnung der Lagerkräfte**:
Da das linke Lager ein Festlager ist und das rechte Lager ein Loslager, können wir die Lagerkräfte \( R_A \) (links) und \( R_B \) (rechts) mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnen.

- Summe der vertikalen Kräfte:
\[
R_A + R_B = 30 \, \text{N}
\]

- Momentengleichgewicht um das linke Lager (A):
\[
M_A = 0 = R_B \cdot 3 - 30 \cdot 1
\]
\[
R_B \cdot 3 = 30 \implies R_B = 10 \, \text{N}
\]

Setze \( R_B \) in die Gleichung für die vertikalen Kräfte ein:
\[
R_A + 10 = 30 \implies R_A = 20 \, \text{N}
\]

4. **Ergebnisse**:
- Die Lagerkraft am Festlager (links) \( R_A = 20 \, \text{N} \) nach oben.
- Die Lagerkraft am Loslager (rechts) \( R_B = 10 \, \text{N} \) nach oben.

Diese Werte geben die Lagerkräfte an, die auf den Balken wirken.