1 Frage zu Lagerkraefte

Um die Lagerkräfte für einen Balken mit einer quadratischen Linienlast zu berechnen, müssen wir zunächst die Gesamtlast und die Reaktionen an den Lagern bestimmen. 1. **Bestimmung der Gesamtlast**: Die quadratische Linienlast \( w(x) \) ist gegeben durch \( w(x) = 30 \cdot \left(\frac{x}{L}\right)^2 \), wobei \( L = 3 \, \text{m} \) ist. Um die Gesamtlast \( F \) zu berechnen, integrieren wir die Linienlast über die Länge des Balkens: \[ F = \int_0^L w(x) \, dx = \int_0^3 30 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)^2 \, dx \] \[ = 30 \cdot \frac{1}{9} \int_0^3 x^2 \, dx = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left[\frac{27}{3}\right] = 30 \cdot \frac{1}{9} \cdot 9 = 30 \, \text{N} \] 2. **Bestimmung des Schwerpunkts der Last**: Der Schwerpunkt \( x_{G} \) der quadratischen Last kann durch die Formel für den Schwerpunkt einer quadratischen Verteilung gefunden werden: \[ x_{G} = \frac{L}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \text{m} \] 3. **Berechnung der Lagerkräfte**: Da das linke Lager ein Festlager ist und das rechte Lager ein Loslager, können wir die Lagerkräfte \( R_A \) (links) und \( R_B \) (rechts) mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnen. - Summe der vertikalen Kräfte: \[ R_A + R_B = 30 \, \text{N} \] - Momentengleichgewicht um das linke Lager (A): \[ M_A = 0 = R_B \cdot 3 - 30 \cdot 1 \] \[ R_B \cdot 3 = 30 \implies R_B = 10 \, \text{N} \] Setze \( R_B \) in die Gleichung für die vertikalen Kräfte ein: \[ R_A + 10 = 30 \implies R_A = 20 \, \text{N} \] 4. **Ergebnisse**: - Die Lagerkraft am Festlager (links) \( R_A = 20 \, \text{N} \) nach oben. - Die Lagerkraft am Loslager (rechts) \( R_B = 10 \, \text{N} \) nach oben. Diese Werte geben die Lagerkräfte an, die auf den Balken wirken.