3 Fragen zu Hefekultur

Um zu bestimmen, wann die Hefekultur ihr Gewicht verdreifacht hat, können wir die Verdopplungszeit und das Anfangsgewicht verwenden. 1. **Anfangsgewicht**: 112 Gramm 2. **Verdopplungszeit**: 39 Minuten Die Hefekultur verdoppelt ihr Gewicht alle 39 Minuten. Das bedeutet, nach 39 Minuten wiegt sie 224 Gramm (112 g * 2). Nach weiteren 39 Minuten (insgesamt 78 Minuten) wiegt sie 448 Gramm (224 g * 2). Um herauszufinden, wann sie ihr Gewicht verdreifacht hat, berechnen wir das dreifache Gewicht: - **Dreifaches Gewicht**: 112 g * 3 = 336 Gramm Jetzt müssen wir herausfinden, wann die Hefekultur 336 Gramm erreicht. Nach 39 Minuten wiegt sie 224 Gramm und nach 78 Minuten 448 Gramm. Das bedeutet, dass das Gewicht von 336 Gramm zwischen 39 und 78 Minuten liegt. Um den genauen Zeitpunkt zu berechnen, verwenden wir die Formel für exponentielles Wachstum: \[ W(t) = W_0 \cdot 2^{t/T} \] wobei: - \(W(t)\) das Gewicht nach Zeit \(t\) ist, - \(W_0\) das Anfangsgewicht (112 g), - \(T\) die Verdopplungszeit (39 Minuten). Wir setzen \(W(t) = 336\) Gramm ein: \[ 336 = 112 \cdot 2^{t/39} \] Teilen wir beide Seiten durch 112: \[ 3 = 2^{t/39} \] Um \(t\) zu finden, nehmen wir den Logarithmus zur Basis 2: \[ \log_2(3) = \frac{t}{39} \] Multiplizieren wir beide Seiten mit 39: \[ t = 39 \cdot \log_2(3) \] Der Wert von \(\log_2(3)\) ist ungefähr 1,585. Daher: \[ t \approx 39 \cdot 1,585 \approx 61,815 \text{ Minuten} \] Das bedeutet, dass die Hefekultur nach etwa 61,8 Minuten ihr Gewicht verdreifacht hat.

Um das Ausgangsgewicht der Hefekultur zu berechnen, können wir die Verdopplungszeit und die Zeit, die vergangen ist, nutzen. Die Hefekultur verdoppelt ihr Gewicht alle 43 Minuten. Nach 15 Minuten wiegt sie 100 Gramm. Wir müssen herausfinden, wie viel sie gewogen hat, bevor sie 15 Minuten gewachsen ist. Zuerst berechnen wir, wie viele Verdopplungszyklen in 15 Minuten stattfinden. Da die Verdopplungszeit 43 Minuten beträgt, ist 15 Minuten weniger als eine vollständige Verdopplung. Wir können die Formel für exponentielles Wachstum verwenden: \[ W(t) = W_0 \cdot 2^{(t/T)} \] Dabei ist: - \(W(t)\) das Gewicht nach der Zeit \(t\), - \(W_0\) das Ausgangsgewicht, - \(T\) die Verdopplungszeit (43 Minuten), - \(t\) die vergangene Zeit (15 Minuten). Setzen wir die Werte ein: \[ 100 = W_0 \cdot 2^{(15/43)} \] Um \(W_0\) zu isolieren, teilen wir beide Seiten durch \(2^{(15/43)}\): \[ W_0 = \frac{100}{2^{(15/43)}} \] Jetzt berechnen wir \(2^{(15/43)}\): \[ 2^{(15/43)} \approx 1.174 \] Setzen wir das in die Gleichung ein: \[ W_0 \approx \frac{100}{1.174} \approx 85.2 \text{ Gramm} \] Das Ausgangsgewicht der Hefekultur betrug also ungefähr 85,2 Gramm.

Um das Ausgangsgewicht der Hefekultur zu berechnen, kannst du die Verdopplungszeit und die Zeit, die vergangen ist, nutzen. Die Hefekultur verdoppelt ihr Gewicht alle 39 Minuten. Nach 18 Minuten wiegt sie 100 Gramm. Zuerst berechnen wir, wie viele Verdopplungszyklen in 18 Minuten stattfinden: 1. Die Zeit bis zur ersten Verdopplung beträgt 39 Minuten. 2. Nach 18 Minuten hat die Kultur noch nicht einmal eine vollständige Verdopplung durchlaufen. Um das Gewicht zum Ausgangszeitpunkt zu finden, verwenden wir die Formel für exponentielles Wachstum: \[ W(t) = W_0 \cdot 2^{(t/T)} \] Dabei ist: - \(W(t)\) das Gewicht nach der Zeit \(t\), - \(W_0\) das Ausgangsgewicht, - \(T\) die Verdopplungszeit (39 Minuten), - \(t\) die vergangene Zeit (18 Minuten). Setzen wir die Werte ein: \[ 100 = W_0 \cdot 2^{(18/39)} \] Berechne zuerst den Exponenten: \[ \frac{18}{39} \approx 0,4615 \] Jetzt berechnen wir \(2^{0,4615}\): \[ 2^{0,4615} \approx 1,378 \] Setze dies in die Gleichung ein: \[ 100 = W_0 \cdot 1,378 \] Um \(W_0\) zu finden, teile beide Seiten durch 1,378: \[ W_0 \approx \frac{100}{1,378} \approx 72,6 \text{ Gramm} \] Das Ausgangsgewicht der Hefekultur betrug also ungefähr 72,6 Gramm.