Welches Gewicht hatte die Hefekultur zu Beginn, wenn sie nach 18 Minuten 100 Gramm wiegt und sich alle 39 Minuten verdoppelt?

Um das Ausgangsgewicht der Hefekultur zu berechnen, kannst du die Verdopplungszeit und die Zeit, die vergangen ist, nutzen.

Die Hefekultur verdoppelt ihr Gewicht alle 39 Minuten. Nach 18 Minuten wiegt sie 100 Gramm.

Zuerst berechnen wir, wie viele Verdopplungszyklen in 18 Minuten stattfinden:

1. Die Zeit bis zur ersten Verdopplung beträgt 39 Minuten.
2. Nach 18 Minuten hat die Kultur noch nicht einmal eine vollständige Verdopplung durchlaufen.

Um das Gewicht zum Ausgangszeitpunkt zu finden, verwenden wir die Formel für exponentielles Wachstum:

\[
W(t) = W_0 \cdot 2^{(t/T)}
\]

Dabei ist:
- \(W(t)\) das Gewicht nach der Zeit \(t\),
- \(W_0\) das Ausgangsgewicht,
- \(T\) die Verdopplungszeit (39 Minuten),
- \(t\) die vergangene Zeit (18 Minuten).

Setzen wir die Werte ein:

\[
100 = W_0 \cdot 2^{(18/39)}
\]

Berechne zuerst den Exponenten:

\[
\frac{18}{39} \approx 0,4615
\]

Jetzt berechnen wir \(2^{0,4615}\):

\[
2^{0,4615} \approx 1,378
\]

Setze dies in die Gleichung ein:

\[
100 = W_0 \cdot 1,378
\]

Um \(W_0\) zu finden, teile beide Seiten durch 1,378:

\[
W_0 \approx \frac{100}{1,378} \approx 72,6 \text{ Gramm}
\]

Das Ausgangsgewicht der Hefekultur betrug also ungefähr 72,6 Gramm.