Wann hat sich eine Hefekultur von 112 Gramm auf das Dreifache gesteigert?

Um zu bestimmen, wann die Hefekultur ihr Gewicht verdreifacht hat, können wir die Verdopplungszeit und das Anfangsgewicht verwenden.

1. **Anfangsgewicht**: 112 Gramm
2. **Verdopplungszeit**: 39 Minuten

Die Hefekultur verdoppelt ihr Gewicht alle 39 Minuten. Das bedeutet, nach 39 Minuten wiegt sie 224 Gramm (112 g * 2). Nach weiteren 39 Minuten (insgesamt 78 Minuten) wiegt sie 448 Gramm (224 g * 2).

Um herauszufinden, wann sie ihr Gewicht verdreifacht hat, berechnen wir das dreifache Gewicht:

- **Dreifaches Gewicht**: 112 g * 3 = 336 Gramm

Jetzt müssen wir herausfinden, wann die Hefekultur 336 Gramm erreicht.

Nach 39 Minuten wiegt sie 224 Gramm und nach 78 Minuten 448 Gramm. Das bedeutet, dass das Gewicht von 336 Gramm zwischen 39 und 78 Minuten liegt.

Um den genauen Zeitpunkt zu berechnen, verwenden wir die Formel für exponentielles Wachstum:

\[
W(t) = W_0 \cdot 2^{t/T}
\]

wobei:
- \(W(t)\) das Gewicht nach Zeit \(t\) ist,
- \(W_0\) das Anfangsgewicht (112 g),
- \(T\) die Verdopplungszeit (39 Minuten).

Wir setzen \(W(t) = 336\) Gramm ein:

\[
336 = 112 \cdot 2^{t/39}
\]

Teilen wir beide Seiten durch 112:

\[
3 = 2^{t/39}
\]

Um \(t\) zu finden, nehmen wir den Logarithmus zur Basis 2:

\[
\log_2(3) = \frac{t}{39}
\]

Multiplizieren wir beide Seiten mit 39:

\[
t = 39 \cdot \log_2(3)
\]

Der Wert von \(\log_2(3)\) ist ungefähr 1,585. Daher:

\[
t \approx 39 \cdot 1,585 \approx 61,815 \text{ Minuten}
\]

Das bedeutet, dass die Hefekultur nach etwa 61,8 Minuten ihr Gewicht verdreifacht hat.