4 Fragen zu Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen. Jede Gleichung beschreibt eine gerade Linie in einem Koordinatensystem. Das Ziel ist es, die Werte der Variablen zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Hier sind die grundlegenden Konzepte: 1. **Form einer linearen Gleichung**: Eine lineare Gleichung hat die Form \( ax + by = c \), wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( x \) und \( y \) die Variablen. 2. **Beispiel eines Systems**: Ein einfaches Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen könnte sein: \[ 2x + 3y = 6 \] \[ x - y = 1 \] 3. **Lösungsmethoden**: Es gibt verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen: - **Grafische Methode**: Man zeichnet die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem und sucht den Schnittpunkt der Linien. Dieser Punkt ist die Lösung des Systems. - **Substitutionsmethode**: Man löst eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. - **Eliminationsmethode**: Man addiert oder subtrahiert die Gleichungen, um eine der Variablen zu eliminieren und dann die verbleibende Variable zu lösen. 4. **Lösungen**: Ein lineares Gleichungssystem kann: - **Eine eindeutige Lösung** haben (der Schnittpunkt der Linien). - **Keine Lösung** haben (die Linien sind parallel). - **Unendlich viele Lösungen** haben (die Linien sind identisch). Das Verständnis dieser Konzepte hilft dir, lineare Gleichungssysteme zu lösen und ihre Bedeutung zu erkennen.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Hier sind die Hauptmerkmale: 1. **Lineare Gleichungen**: Jede Gleichung ist linear, d.h., sie hat die Form \(a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b\), wobei \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) und \(b\) Konstanten sind und \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) die Variablen. 2. **Mehrere Gleichungen**: Es gibt mindestens zwei Gleichungen, die zusammen betrachtet werden. 3. **Gleichzeitige Lösungen**: Die Lösung des Systems ist ein Satz von Werten für die Variablen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen \(x\) und \(y\) ist: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \] Die Lösung dieses Systems ist das Paar \((x, y)\), das beide Gleichungen erfüllt.

Hier ist eine anspruchsvolle Frage zu linearen Gleichungssystemen: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: 1. \( 2x + 3y - z = 7 \) 2. \( 4x - y + 5z = -3 \) 3. \( -x + 2y + 3z = 4 \) Wie kann man dieses Gleichungssystem mit der Methode der Gaußschen Eliminierung lösen? 1. **Schritt 1: Aufstellen der erweiterten Matrix** \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 4 & -1 & 5 & | & -3 \\ -1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \] 2. **Schritt 2: Anwenden der Gaußschen Eliminierung** - Zunächst wird die erste Zeile so skaliert, dass der erste Eintrag 1 wird (falls nötig). - Dann werden die anderen Zeilen so modifiziert, dass die Einträge in der ersten Spalte (außer dem ersten) null werden. - Dies wird für jede Spalte wiederholt, bis die Matrix in obere Dreiecksform gebracht ist. 3. **Schritt 3: Rückwärtseinsetzen** - Nachdem die Matrix in obere Dreiecksform gebracht wurde, wird durch Rückwärtseinsetzen die Lösung für \( x \), \( y \) und \( z \) gefunden. **Lösungsschritte im Detail:** 1. **Erste Zeile skalieren (falls nötig):** \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 4 & -1 & 5 & | & -3 \\ -1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \] 2. **Zweite Zeile modifizieren:** \[ \text{Z2} \rightarrow \text{Z2} - 2 \cdot \text{Z1} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & -7 & 7 & | & -17 \\ -1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \] 3. **Dritte Zeile modifizieren:** \[ \text{Z3} \rightarrow \text{Z3} + \frac{1}{2} \cdot \text{Z1} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & -7 & 7 & | & -17 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} & | & \frac{15}{2} \end{pmatrix} \] 4. **Zweite Zeile skalieren:** \[ \text{Z2} \rightarrow \frac{1}{-7} \cdot \text{Z2} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -1 & | & \frac{17}{7} \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} & | & \frac{15}{2} \end{pmatrix} \] 5. **Dritte Zeile modifizieren:** \[ \text{Z3} \rightarrow \text{Z3} - \frac{7}{2} \cdot \text{Z2} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -1 & | & \frac{17}{7} \\ 0 & 0 & 6 & | & -1 \end{pmatrix} \] 6. **Dritte Zeile skalieren:** \[ \text{Z3} \rightarrow \frac{1}{6} \cdot \text{Z3} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -1 & | & \frac{17}{7} \\ 0 &

Hier ist eine Quizfrage zu linearen Gleichungssystemen: **Frage:** Wie viele Lösungen hat das folgende lineare Gleichungssystem? 1. \(2x + 3y = 6\) 2. \(4x + 6y = 12\) **A) Keine Lösung** **B) Eine Lösung** **C) Unendlich viele Lösungen** **Antwort:** C) Unendlich viele Lösungen **Erklärung:** Das zweite Gleichung ist ein Vielfaches der ersten Gleichung (genau das Doppelte). Das bedeutet, dass beide Gleichungen dieselbe Gerade darstellen und somit unendlich viele gemeinsame Punkte (Lösungen) haben.