Hier ist eine anspruchsvolle Frage zu linearen Gleichungssystemen: Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: 1. \( 2x + 3y - z = 7 \) 2. \( 4x - y + 5z = -3 \) 3. \( -x + 2y + 3z = 4 \) Wie kann man dieses Gleichungssystem mit der Methode der Gaußschen Eliminierung lösen? 1. **Schritt 1: Aufstellen der erweiterten Matrix** \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 4 & -1 & 5 & | & -3 \\ -1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \] 2. **Schritt 2: Anwenden der Gaußschen Eliminierung** - Zunächst wird die erste Zeile so skaliert, dass der erste Eintrag 1 wird (falls nötig). - Dann werden die anderen Zeilen so modifiziert, dass die Einträge in der ersten Spalte (außer dem ersten) null werden. - Dies wird für jede Spalte wiederholt, bis die Matrix in obere Dreiecksform gebracht ist. 3. **Schritt 3: Rückwärtseinsetzen** - Nachdem die Matrix in obere Dreiecksform gebracht wurde, wird durch Rückwärtseinsetzen die Lösung für \( x \), \( y \) und \( z \) gefunden. **Lösungsschritte im Detail:** 1. **Erste Zeile skalieren (falls nötig):** \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 4 & -1 & 5 & | & -3 \\ -1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \] 2. **Zweite Zeile modifizieren:** \[ \text{Z2} \rightarrow \text{Z2} - 2 \cdot \text{Z1} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & -7 & 7 & | & -17 \\ -1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \] 3. **Dritte Zeile modifizieren:** \[ \text{Z3} \rightarrow \text{Z3} + \frac{1}{2} \cdot \text{Z1} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & -7 & 7 & | & -17 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} & | & \frac{15}{2} \end{pmatrix} \] 4. **Zweite Zeile skalieren:** \[ \text{Z2} \rightarrow \frac{1}{-7} \cdot \text{Z2} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -1 & | & \frac{17}{7} \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} & | & \frac{15}{2} \end{pmatrix} \] 5. **Dritte Zeile modifizieren:** \[ \text{Z3} \rightarrow \text{Z3} - \frac{7}{2} \cdot \text{Z2} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -1 & | & \frac{17}{7} \\ 0 & 0 & 6 & | & -1 \end{pmatrix} \] 6. **Dritte Zeile skalieren:** \[ \text{Z3} \rightarrow \frac{1}{6} \cdot \text{Z3} \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -1 & | & \frac{17}{7} \\ 0 &